Chủ đề này có 2 trả lời

[tretho97]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương
CMR: $\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}} \geq \sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}$

[9nho10mong]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương
CMR: $\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}} \geq \sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}$

 

Dùng Holder có

$$ \left( \sum \frac{a}{\sqrt{b+c}} \right)^2 \cdot \left( \sum a \left( b+c \right) \right) \ge \left( a+b+c \right)^3   $$

Từ đó có

$$ \left( \sum \frac{a}{\sqrt{b+c}} \right)^2 \ge \frac{\left( a+b+c \right)^3}{2 \left( ab+bc+ca \right)} \ge \frac{3 \left( a+b+c \right)}{2} $$

Suy ra

$$ \sum \frac{a}{\sqrt{b+c}} \ge \sqrt{\frac{3 \left( a+b+c \right)}{2}}  $$

Đó là điều cần chứng minh.

[Kamii0909]

Có $$\sum \frac{a}{\sqrt{\frac{3}{2}(b+c)(a+b+c)}} \geq \sum \frac{4a}{2a+5b+5c} \geq \frac{4(a+b+c)^2}{2(a+b+c)^2+6(ab+bc+ca)} \geq 1$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 03-03-2017 - 01:58