Chủ đề này có 6 trả lời

[Katyusha]

Mọi người hướng dẫn giúp mình cách xử lý những bài tích phân mà cận là ẩn như thế này với

 

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có $\int_0^{x^2}f(t)d t=\dfrac{4}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+1$. Tính $f(1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Katyusha: 28-02-2017 - 18:36

[thoai6cthcstqp]

Mọi người hướng dẫn giúp mình cách xử lý những bài tích phân mà cận là ẩn như thế này với

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có $\int_0^{x^2}f(t)d t=\1\dfrac{4}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+1$. Tính $f(1)$

Gọi F(t) là một nguyên hàm của f(t). Khi đó: $F(x^2)-F(0)=\dfrac{4}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+1$. Đạo hàm 2 vế ta được: $2xf(x^2)=4x^2-x$. Hay $f(1)=\dfrac{3}{2}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thoai6cthcstqp: 29-04-2017 - 13:54

[chanhquocnghiem]

Mọi người hướng dẫn giúp mình cách xử lý những bài tích phân mà cận là ẩn như thế này với

 

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có $\int_0^{x^2}f(t)d t=\dfrac{4}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+1$. Tính $f(1)$

Nếu gọi $F(t)$ là một nguyên hàm của $f(t)$ thì $F(x^2)-F(0)=\frac{4}{3}\ x^3-\frac{1}{2}\ x^2+1$

Đạo hàm 2 vế thì được $2xf(x^2)=4x^2-x$

Vì $f$ là hàm liên tục nên $f(x^2)=2x-\frac{1}{2}$ (Đến đây nhận thấy đề cho $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ là không đúng, nên sửa lại là $f(x)$ liên tục trên $(0;+\infty)$)

Từ đó suy ra $f(x)=2\sqrt{x}-\frac{1}{2}$ ; $f(t)=2\sqrt{t}-\frac{1}{2}$

Nhưng nếu chọn $F(t)=\frac{4}{3}\ t^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}\ t$ thì

$F(x^2)-F(0)=\frac{4}{3}\ x^3-\frac{1}{2}\ x^2$ (Như vậy đề bài sai, thừa cái $+1$.Còn nếu đề bài là đúng thì không tồn tại hàm $f(x)$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 29-04-2017 - 14:55

[thoai6cthcstqp]

Nếu gọi $F(t)$ là một nguyên hàm của $f(t)$ thì $F(x^2)-F(0)=\frac{4}{3}\ x^3-\frac{1}{2}\ x^2+1$
Đạo hàm 2 vế thì được $2xf(x^2)=4x^2-x$
Vì $f$ là hàm liên tục nên $f(x^2)=2x-\frac{1}{2}$ (Đến đây nhận thấy đề cho $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ là không đúng, nên sửa lại là $f(x)$ liên tục trên $[0;+\infty)$
Từ đó suy ra $f(x)=2\sqrt{x}-\frac{1}{2}$ ; $f(t)=2\sqrt{t}-\frac{1}{2}$
Nhưng nếu chọn $F(t)=\frac{4}{3}\ t^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}\ t$ thì
$F(x^2)-F(0)=\frac{4}{3}\ x^3-\frac{1}{2}\ x^2$ (Như vậy đề bài sai, thừa cái $+1$.Còn nếu đề bài là đúng thì không tồn tại hàm $f(x)$)

Làm sao bạn dám kết luận hàm f(x) không liên tục trên R?

[chanhquocnghiem]

Làm sao bạn dám kết luận hàm f(x) không liên tục trên R?

Là như thế này :

Cứ cho là hàm $f$ liên tục đi (dĩ nhiên là liên tục trên tập xác định của nó), nhưng nó không thể liên tục trên $\mathbb{R}$ được (điều này mình sẽ chứng minh dưới đây).

Ta có $2xf(x^2)=4x^2-x\Rightarrow f(x^2)=\frac{4x^2-x}{2x}$ (1)

Từ (1) suy ra $f(x^2)=2x-\frac{1}{2}$ (2) (nếu không thì hàm $f$ sẽ gián đoạn tại $x=0$)

Nhìn vào (2) thì có thể hiểu $f(x)$ chỉ xác định khi $x\geqslant 0$.Và hơn nữa ta có $f(x)=2\sqrt{x}-\frac{1}{2}$ (dĩ nhiên chỉ với $x\geqslant 0$)

Như vậy $f(x)=2\sqrt{x}-\frac{1}{2}$ rõ ràng là hàm liên tục trên $(0;+\infty)$ chứ không phải liên tục trên $\mathbb{R}$ (vì nó không xác định trên $(-\infty;0)$)

[thoai6cthcstqp]

Là như thế này :
Cứ cho là hàm $f$ liên tục đi (dĩ nhiên là liên tục trên tập xác định của nó), nhưng nó không thể liên tục trên $\mathbb{R}$ được (điều này mình sẽ chứng minh dưới đây).
Ta có $2xf(x^2)=4x^2-x\Rightarrow f(x^2)=\frac{4x^2-x}{2x}$ (1)
Từ (1) suy ra $f(x^2)=2x-\frac{1}{2}$ (2) (nếu không thì hàm $f$ sẽ gián đoạn tại $x=0$)
Nhìn vào (2) thì có thể hiểu $f(x)$ chỉ xác định khi $x\geqslant 0$.Và hơn nữa ta có $f(x)=2\sqrt{x}-\frac{1}{2}$ (dĩ nhiên chỉ với $x\geqslant 0$)
Như vậy $f(x)=2\sqrt{x}-\frac{1}{2}$ rõ ràng là hàm liên tục trên $(0;+\infty)$ chứ không phải liên tục trên $\mathbb{R}$ (vì nó không xác định trên $(-\infty;0)$)

Theo mình nghĩ thì $f(x)=2\sqrt{|x|}-\frac{1}{2}$ chứ.

[chanhquocnghiem]

Theo mình nghĩ thì $f(x)=2\sqrt{|x|}-\frac{1}{2}$ chứ.

Không đúng đâu, bởi vì nếu như vậy thì $f(-1)=2\sqrt{\left | -1 \right |}-\frac{1}{2}$

Nhưng mà $\left ( \sqrt{\left | -1 \right |} \right )^2$ đâu có bằng $-1$ đâu ?