Mọi người hướng dẫn giúp mình cách xử lý những bài tích phân mà cận là ẩn như thế này với
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có $\int_0^{x^2}f(t)d t=\dfrac{4}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+1$. Tính $f(1)$
Nếu gọi $F(t)$ là một nguyên hàm của $f(t)$ thì $F(x^2)-F(0)=\frac{4}{3}\ x^3-\frac{1}{2}\ x^2+1$
Đạo hàm 2 vế thì được $2xf(x^2)=4x^2-x$
Vì $f$ là hàm liên tục nên $f(x^2)=2x-\frac{1}{2}$ (Đến đây nhận thấy đề cho $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ là không đúng, nên sửa lại là $f(x)$ liên tục trên $(0;+\infty)$)
Từ đó suy ra $f(x)=2\sqrt{x}-\frac{1}{2}$ ; $f(t)=2\sqrt{t}-\frac{1}{2}$
Nhưng nếu chọn $F(t)=\frac{4}{3}\ t^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}\ t$ thì
$F(x^2)-F(0)=\frac{4}{3}\ x^3-\frac{1}{2}\ x^2$ (Như vậy đề bài sai, thừa cái $+1$.Còn nếu đề bài là đúng thì không tồn tại hàm $f(x)$)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 29-04-2017 - 14:55