Chủ đề này có 2 trả lời

[Thanh Nam 11]

1, Có tồn tại hay không các số x,y,z nguyên sao cho:

$x^2 + 2y^2 + 98z^2$ = 111....111 ( 666 số 1)

2, Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn ab+1 là số chính phương. CMR tồn tại c $\in$ Z+ đề ac + 1 và bc + 1 cũng là số chính phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanh Nam 11: 01-03-2017 - 00:35

[NHoang1608]

1, Có tồn tại hay không các số x,y,z nguyên sao cho:

$x^2 + 2y^2 + 98z^2$ = 111....111 ( 666 số 1)

2, Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn ab+1 là số chính phương. CMR tồn tại c $\in$ Z+ đề ac + 1 và bc + 1 cũng là số chính phương

1) Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra $x$ lẻ nên $x^{2}\equiv 1 (mod8)$ 

     Ta có $x^{2}+2y^{2}+98z^{2}\equiv x^{2}+2y^{2}+2z^{2} (mod8)$

     suy ra $x^{2}+2y^{2}+2z^{2}\equiv 7 (mod8)$ (Vì 111...111 chia 8 dư 7)

                $\Rightarrow 2(y^{2}+z^{2})\equiv 6 (mod8)$

                $\Rightarrow y^{2}+z^{2}\equiv 3;7 (mod8)$ (Có thể xét từng TH một để suy ra điểu này) (1)

     Mặt khác $y^{2}\equiv 0;4;1(mod8)$

     Suy ra $y^{2}+z^{2}\equiv 0;1;2;4;5(mod8)$ trái với (1) 

     Từ đây suy ra không tồn tại các số nguyên $x, y, z$  thỏa mãn đề bài.

2) Vì $ab+1$ là số chính phương nên tồn tại số nguyên dương $x$ thỏa mãn: $ab+1=x^{2}$ $\rightarrow ab=x^{2}-1=(x-1)(x+1)$

     vì $a, b$ là các số nguyên dương nên có thể chọn $a=x-1$ và $b=x+1$

     Suy ra $ac+1=(x-1)c+1$ và $bc+1=(x+1)c+1$. Chọn $c=4x$ thì $ac+1=(x-1)4x+1= (2x-1)^{2}$ là số chính phương, tượng tự thì $bc+1=(2x+1)^{2}$ cũng là số chính phương. 

     Mà $x$ là số nguyên dương nên tồn tại số c thỏa mãn đề bài suy ra Đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 01-03-2017 - 12:32

[IHateMath]

2. Cho $a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $ab+1$ là số chính phương. CMR tồn tại $c \in \mathbb{Z^+}$ để $ac + 1$ và $bc + 1$ cũng là số chính phương.

2) Vì $ab+1$ là số chính phương nên tồn tại số nguyên dương $x$ thỏa mãn: $ab+1=x^{2}$ $\rightarrow ab=x^{2}-1=(x-1)(x+1)$

     vì $a, b$ là các số nguyên dương nên có thể chọn $a=x-1$ và $b=x+1$.

Bạn không thể "chọn" như vậy được!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IHateMath: 01-03-2017 - 18:04