Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$x^2 + 2y^2 + 98z^2$ = 111....111 ( 666 số 1)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Thanh Nam 11

Thanh Nam 11

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 23 Bài viết

Đã gửi 01-03-2017 - 00:34

1, Có tồn tại hay không các số x,y,z nguyên sao cho:

$x^2 + 2y^2 + 98z^2$ = 111....111 ( 666 số 1)

2, Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn ab+1 là số chính phương. CMR tồn tại c $\in$ Z+ đề ac + 1 và bc + 1 cũng là số chính phương


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanh Nam 11: 01-03-2017 - 00:35


#2 NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{\lim_{I\rightarrow U} Love= +\infty}$

Đã gửi 01-03-2017 - 12:31

1, Có tồn tại hay không các số x,y,z nguyên sao cho:

$x^2 + 2y^2 + 98z^2$ = 111....111 ( 666 số 1)

2, Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn ab+1 là số chính phương. CMR tồn tại c $\in$ Z+ đề ac + 1 và bc + 1 cũng là số chính phương

1) Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra $x$ lẻ nên $x^{2}\equiv 1 (mod8)$ 

     Ta có $x^{2}+2y^{2}+98z^{2}\equiv x^{2}+2y^{2}+2z^{2} (mod8)$

     suy ra $x^{2}+2y^{2}+2z^{2}\equiv 7 (mod8)$ (Vì 111...111 chia 8 dư 7)

                $\Rightarrow 2(y^{2}+z^{2})\equiv 6 (mod8)$

                $\Rightarrow y^{2}+z^{2}\equiv 3;7 (mod8)$ (Có thể xét từng TH một để suy ra điểu này) (1)

     Mặt khác $y^{2}\equiv 0;4;1(mod8)$

     Suy ra $y^{2}+z^{2}\equiv 0;1;2;4;5(mod8)$ trái với (1) 

     Từ đây suy ra không tồn tại các số nguyên $x, y, z$  thỏa mãn đề bài.

2) Vì $ab+1$ là số chính phương nên tồn tại số nguyên dương $x$ thỏa mãn: $ab+1=x^{2}$ $\rightarrow ab=x^{2}-1=(x-1)(x+1)$

     vì $a, b$ là các số nguyên dương nên có thể chọn $a=x-1$ và $b=x+1$

     Suy ra $ac+1=(x-1)c+1$ và $bc+1=(x+1)c+1$. Chọn $c=4x$ thì $ac+1=(x-1)4x+1= (2x-1)^{2}$ là số chính phương, tượng tự thì $bc+1=(2x+1)^{2}$ cũng là số chính phương. 

     Mà $x$ là số nguyên dương nên tồn tại số c thỏa mãn đề bài suy ra Đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 01-03-2017 - 12:32

The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#3 IHateMath

IHateMath

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Olympiad Math & Computer Sci

Đã gửi 01-03-2017 - 17:58

2. Cho $a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $ab+1$ là số chính phương. CMR tồn tại $c \in \mathbb{Z^+}$ để $ac + 1$ và $bc + 1$ cũng là số chính phương.

scrshot_001.png

2) Vì $ab+1$ là số chính phương nên tồn tại số nguyên dương $x$ thỏa mãn: $ab+1=x^{2}$ $\rightarrow ab=x^{2}-1=(x-1)(x+1)$

     vì $a, b$ là các số nguyên dương nên có thể chọn $a=x-1$ và $b=x+1$.

Bạn không thể "chọn" như vậy được!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IHateMath: 01-03-2017 - 18:04





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh