Chủ đề này có 6 trả lời

[Thanh Loan 7012]

Chứng minh mọi hàm số liên tục đều trên $(a,b)$ là bị chặn. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 01-03-2017 - 21:49

[bangbang1412]

Vì $(a,b)$ liên thông nên ảnh nó qua hàm liên tục cũng liên thông và do đó bị chặn .( bị chặn do k tồn tại $1$ dãy con hàm tiến tới vô cùg , tính liên tục đều )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 01-03-2017 - 16:27

[vutuanhien]

Chứng minh mọi hàm số liên tục đều trên (a,b) là bị chặn. 

Hàm liên tục đều trên khoảng $(a,b)$ thì ta hoàn toàn có thể thác triển được trên toàn bộ đoạn $[a,b]$ bằng cách đặt $f(a)=\lim_{x\to a^{+}}f(x)$, $f(b)=\lim_{x\to b^{-}}f(x)$ (giới hạn này tồn tại, chỉ cần áp dụng tiêu chuẩn Cauchy cho sự hội tụ của hàm số và dùng định nghĩa của hàm liên tục đều). Như vậy lúc này hàm $f$ liên tục trên $[a,b]$ là một tập compact, nên nó phải bị chặn (đpcm).

 

Vì $(a,b)$ liên thông nên ảnh nó qua hàm liên tục cũng liên thông và do đó bị chặn .( bị chặn do k tồn tại $1$ dãy con hàm tiến tới vô cùg , tính liên tục đều )

Liên thông làm gì cho mệt hả em=))

[Thanh Loan 7012]

ahhh, cho em hỏi liên thông là gì ạ....

Cái này em chưa học ạ (

[bangbang1412]

ahhh, cho em hỏi liên thông là gì ạ....

Cái này em chưa học ạ (

Liên thông là một khái niệm hay , một đặc trưng topo , nó không thể cắt một tập làm hai tập mở hoặc đóng . Tìm hiểu thêm tại : https://en.wikipedia...Connected_space  , sau khi học xong bạn sẽ có cái nhìn khác , liên thông cũng đặc biệt quan trọng trong topo đại số ,( khái niệm thiết yếu )

 

Hàm liên tục đều trên khoảng $(a,b)$ thì ta hoàn toàn có thể thác triển được trên toàn bộ đoạn $[a,b]$ bằng cách đặt $f(a)=\lim_{x\to a^{+}}f(x)$, $f(b)=\lim_{x\to b^{-}}f(x)$ (giới hạn này tồn tại, chỉ cần áp dụng tiêu chuẩn Cauchy cho sự hội tụ của hàm số và dùng định nghĩa của hàm liên tục đều). Như vậy lúc này hàm $f$ liên tục trên $[a,b]$ là một tập compact, nên nó phải bị chặn (đpcm).

 

Liên thông làm gì cho mệt hả em=))

Lúc đấy em đang ngồi trên xe khách ,  em cũng định hỏi đại ca là nhỡ hai cái lim là vô cùng thì sao

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 01-03-2017 - 21:54

[vutuanhien]

Liên thông là một khái niệm hay , một đặc trưng topo , nó không thể cắt một tập làm hai tập mở hoặc đóng . Tìm hiểu thêm tại : https://en.wikipedia...Connected_space  , sau khi học xong bạn sẽ có cái nhìn khác , liên thông cũng đặc biệt quan trọng trong topo đại số ,( khái niệm thiết yếu )

 

Lúc đấy em đang ngồi trên xe khách ,  em cũng định hỏi đại ca là nhỡ hai cái lim là vô cùng thì sao

Vô cùng thì có sao đâu, miễn là nó liên tục. Mà nếu vô cùng thì mâu thuẫn ngay vì $[a,b]$ là tập compact. 

Cái anh nhắc em ở đây là sinh viên năm nhất nhiều nơi chưa học liên thông các thứ đâu, nên trả lời đơn giản thôi=)) thích thì thêm thắt sau cũng được.

[bangbang1412]

Vô cùng thì có sao đâu, miễn là nó liên tục. Mà nếu vô cùng thì mâu thuẫn ngay vì $[a,b]$ là tập compact. 

Cái anh nhắc em ở đây là sinh viên năm nhất nhiều nơi chưa học liên thông các thứ đâu, nên trả lời đơn giản thôi=)) thích thì thêm thắt sau cũng được.

Ok rồi , vậy thì thử chứng minh bằng định nghĩa liên tục đều trên tập $A$ bị chặn thì $f(A)$ sẽ bị chặn :

$$(\forall \epsilon > 0)( \exists \delta >0) (\forall x,y \in A) ( |x-y| <\delta \to |f(x)-f(y)|<\epsilon)$$

Giờ nếu giả sử $f(A)$ không bị chặn thì tồn tại một dãy $(a_{n}) : f(a_{n}) \to \infty$ nên ta chọn một dãy con $(b_{n}): f(b_{n+1})-f(b_{n}) > 1$ , do $(b_{n})$ bị chặn nên có dãy con hội tụ giả sử là $c_{n} \to c$ như khi đó

$$|c_{n}-c_{n+1}| \to 0$$ 

$$f(c_{n+1})-f(c_{n})>1$$ 

Trái với giả thiết liên tục đều => đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 01-03-2017 - 22:33