Đến nội dung


Chú ý

Nếu bạn gặp lỗi trong quá trinh đăng ký thành viên, hoặc đã đăng ký thành công nhưng không nhận được email kích hoạt, hãy thực hiện những bước sau:

  • Đăng nhập với tên và mật khẩu bạn đã dùng kể đăng ký. Dù bị lỗi nhưng hệ thống đã lưu thông tin của bạn vào cơ sở dữ liệu, nên có thể đăng nhập được.
  • Sau khi đăng nhập, phía góc trên bên phải màn hình sẽ có nút "Gửi lại mã kích hoạt", bạn nhấn vào nút đó để yêu cầu gửi mã kích hoạt mới qua email.
Nếu bạn đã quên mật khẩu thì lúc đăng nhập hãy nhấn vào nút "Tôi đã quên mật khẩu" để hệ thống gửi mật khẩu mới cho bạn, sau đó làm theo hai bước trên để kích hoạt tài khoản. Lưu ý sau khi đăng nhập được bạn nên thay mật khẩu mới.

Nếu vẫn không đăng nhập được, hoặc gặp lỗi "Không có yêu cầu xác nhận đang chờ giải quyết cho thành viên đó", bạn hãy gửi email đến [email protected] để được hỗ trợ.
---
Do sự cố ngoài ý muốn, tất cả bài viết và thành viên đăng kí sau ngày 08/08/2019 đều không thể được khôi phục. Những thành viên nào tham gia diễn đàn sau ngày này xin vui lòng đăng kí lại tài khoản. Ban Quản Trị rất mong các bạn thông cảm. Mọi câu hỏi hay thắc mắc các bạn có thể đăng vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để được hỗ trợ. Ngoài ra nếu các bạn thấy diễn đàn bị lỗi thì xin hãy thông báo cho BQT trong chủ đề Báo lỗi diễn đàn. Cảm ơn các bạn.

Ban Quản Trị.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Computing the value of f(2017)

analysis calculus compute function

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Thanh Loan 7012

Thanh Loan 7012

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 01-03-2017 - 16:28

1, Given $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ satisfying f(0)=2017

$\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |^{2}$

Compute f(2017).

2,1, Given $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ satisfying f(0)=0

$\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |^{2}$

Compute f(2017).



#2 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 621 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 01-03-2017 - 17:06

1, Given $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ satisfying f(0)=2017

$\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |^{2}$

Compute f(2017).

2,1, Given $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ satisfying f(0)=0

$\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |^{2}$

Compute f(2017).

Let me prove a general result: If $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ satisfies $\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |^2$, then $f$ must be constant.

 

First, fix $x_{0}\in \mathbb{R}$ and $\forall \epsilon>0$, consider $\delta=\sqrt{\epsilon}$. Then for all $x\in (x_{0}-\delta, x_{0}+\delta)$, we have $\left | f(x)-f(x_{0}) \right |\leq \left | x-x_{0} \right |^2<\epsilon$ and we get $f$ is continuous, which follows from definition. 

 

Now fix $y\in \mathbb{R}$. Since $\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |^2$ for all $x\in \mathbb{R}$, we have $0\leq \dfrac{\left | f(x)-f(y) \right |}{ \left | x-y \right |}\leq  \left | x-y \right |$ (for all $x\neq y$). Let $x\to y$ and by the squeezing theorem, $\lim_{x\to y}\dfrac{\left | f(x)-f(y) \right |}{\left | x-y \right |}=0$. So $\lim_{x\to y}\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=0$, which means $f$ is differentiable and $f'(y)=0$ (for all $y\in \mathbb{R}$). Therefore, $f$ must be constant.

 

It follows from the above result that $f(x)\equiv 2017$ in your first problem and $f(x)\equiv 0$ in your second problem. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 01-03-2017 - 20:08

$\sum_{P} I(P, F\cap G)=mn$

 

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh