Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Computing the value of f(2017)

analysis calculus compute function

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Thanh Loan 7012

Thanh Loan 7012

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 01-03-2017 - 16:28

1, Given $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ satisfying f(0)=2017

$\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |^{2}$

Compute f(2017).

2,1, Given $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ satisfying f(0)=0

$\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |^{2}$

Compute f(2017).



#2 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 614 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 01-03-2017 - 17:06

1, Given $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ satisfying f(0)=2017

$\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |^{2}$

Compute f(2017).

2,1, Given $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ satisfying f(0)=0

$\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |^{2}$

Compute f(2017).

Let me prove a general result: If $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ satisfies $\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |^2$, then $f$ must be constant.

 

First, fix $x_{0}\in \mathbb{R}$ and $\forall \epsilon>0$, consider $\delta=\sqrt{\epsilon}$. Then for all $x\in (x_{0}-\delta, x_{0}+\delta)$, we have $\left | f(x)-f(x_{0}) \right |\leq \left | x-x_{0} \right |^2<\epsilon$ and we get $f$ is continuous, which follows from definition. 

 

Now fix $y\in \mathbb{R}$. Since $\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |^2$ for all $x\in \mathbb{R}$, we have $0\leq \dfrac{\left | f(x)-f(y) \right |}{ \left | x-y \right |}\leq  \left | x-y \right |$ (for all $x\neq y$). Let $x\to y$ and by the squeezing theorem, $\lim_{x\to y}\dfrac{\left | f(x)-f(y) \right |}{\left | x-y \right |}=0$. So $\lim_{x\to y}\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=0$, which means $f$ is differentiable and $f'(y)=0$ (for all $y\in \mathbb{R}$). Therefore, $f$ must be constant.

 

It follows from the above result that $f(x)\equiv 2017$ in your first problem and $f(x)\equiv 0$ in your second problem. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 01-03-2017 - 20:08

"Of all creatures that breathe and move upon the earth, nothing is bred that is weaker than man. For he thinks that he will never suffer evil in time to come, so long as the gods give him prosperity and his knees are quick; but when again the blessed gods decree him sorrow, this too he bears in sore despite with steadfast heart; for the spirit of men upon the earth is even such as the day which the father of gods and men brings upon them." (Homer, The Odyssey)





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh