Cho phương trình $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0$ có các hệ số $a, b, c \geq 0.$ Giả sử phương trình trên có bốn nghiệm. Chứng minh rằng $a+\frac{b}{2}+\frac{c}{4}\geq 8.$
Chứng minh rằng $a+\frac{b}{2}+\frac{c}{4}\geq 8.$
Bắt đầu bởi Zz Isaac Newton Zz, 01-03-2017 - 23:00
#1
Đã gửi 01-03-2017 - 23:00
Zz Isaac Newton Zz
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 392 Bài viết
Sĩ quan
#2
Đã gửi 30-04-2017 - 20:34
Nghiapnh1002
-
- Thành viên
-
- 108 Bài viết
Trung sĩ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nghiapnh1002: 30-04-2017 - 20:50
#4
Đã gửi 13-05-2017 - 17:06
An Infinitesimal
-
- Thành viên
-
- 1803 Bài viết
Đại úy
ai làm được chưa ạ?
Mình chưa làm được.
(i) BĐT cần chứng minh tương đương $P(2)=8a + 4b + 2c + 17\ge 81.$
(ii) Gọi $x_i$, $i=\overline{1,4}$ là các nghiệm của $ P $ thỏa $x_1<x_2<x_3<x_4$. Ta có \[P(x)=\prod_{i=1}^{4}(x-x_i)=x^4+ax^3+bx^2+cx+1.\]
Do đó $ P(2)=(2-x_1)(2-x_2)(2-x_3)(2-x_4). $
(iii) Nếu $ x\ge 0 $ thì $ P(x)\ge 1>0 $. Do đó, các nghiệm phải là số âm.
(iv) Theo Viet, ta có $ x_1x_2x_3x_4=1. $
Ta có
\[ P(2)=(2-x_1)(2-x_2)(2-x_3)(2-x_4)\ge 3\sqrt[3]{-x_1}.3\sqrt[3]{-x_2}.3\sqrt[3]{-x_3}.3\sqrt[3]{-x_4}=81\sqrt[3]{x_1x_2x_3x_4}=81.\]
Suy ra ĐPCM.
Đời người là một hành trình...
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
