Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * - - 2 Bình chọn

$\sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

Đã gửi 02-03-2017 - 20:14

1/CMR:

    a,b,c>0 

          $\sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}$$\geq 2$

2/ CMR:

    a,b,c>0 

           CMR:  $\sum a\sqrt{a^2+bc}\geq \sqrt{3}(ab+bc+ac )$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan2001: 02-03-2017 - 20:33


#2 NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{\lim_{I\rightarrow U} Love= +\infty}$

Đã gửi 02-03-2017 - 20:27

1/CMR:

    a,b,c>0 

          $\sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}$

2/ CMR:

    a,b,c>0 

           CMR:  $\sum a\sqrt{a^2+bc}\geq \sqrt{3}(ab+bc+ac )$

đề bài 1 thiếu kìa bạn


The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#3 NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{\lim_{I\rightarrow U} Love= +\infty}$

Đã gửi 02-03-2017 - 21:28

2) đề bài mình nghĩ là chỗ vế phải là $\sqrt{2}$

Solutions: Ta có bổ đề sau : với x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $xyz=1$ thì $S=\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\frac{1}{\sqrt{y+1}}+\frac{1}{\sqrt{z+1}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

C/m: vì $xyz=1$ nên ta có thể đặt $(x;y;z)=(\frac{m}{n};\frac{n}{p};\frac{p}{m})$ khi đó bđt tương đương với:

    $\sqrt{\frac{2n}{m+n}}+\sqrt{\frac{2p}{p+n}}+\sqrt{\frac{2m}{m+p}}\leq 3$

    $\leftrightarrow \sqrt{\frac{2n(m+p)}{(m+n)(m+p)}}+\sqrt{\frac{2p(m+n)}{(m+n)(n+p)}}+\sqrt{\frac{2m(n+p)}{(m+p)(n+p)}}\leq 3$ (*)

Ap dụng bđt Cauchy-Schwarz thì ta có $S^{2}\leq (\sum{2n(m+p)})(\sum{\frac{1}{(m+n)(n+p)}})=\frac{8(m+n+p)(mn+np+mp)}{(m+n)(n+p)(m+p)}$(2)

Mà ta có bđt quen thuộc sau: $(a+b+c)(ab+bc+ca)\leq \frac{8}{9}(a+b)(b+c)(c+a)$ với a,b,c là các số thực dương (1)

Từ (1) và (2) thì ta được $S^{2}\leq 9 \rightarrow S\leq 3$ Bổ đề được chứng minh.

Quay lại với bài toán: Ap dụng bđt Cauchy-Schwarz thì ta có:

   $(a\sqrt{a^{2}+bc}+b\sqrt{b^{2}+ca}+c\sqrt{c^{2}+ab})(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+ab}})\geq (a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$

Ap dụng bổ đề trên cho bộ ba số $(\frac{a^{2}}{bc};\frac{b^{2}}{ca};\frac{c^{2}}{ab})$ thì ta có:

   $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+ab}} \leq \frac{3}{\sqrt{2}}$ 

Suy ra $\frac{3}{\sqrt{2}}(a\sqrt{a^{2}+bc}+b\sqrt{b^{2}+ca}+c\sqrt{c^{2}+ab})\geq 3(ab+bc+ca)$

  $\rightarrow a\sqrt{a^{2}+bc}+b\sqrt{b^{2}+ca}+c\sqrt{c^{2}+ab}\geq \sqrt{2}(ab+bc+ca)$ (Q.E.D)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 02-03-2017 - 21:35

The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#4 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 03-03-2017 - 01:52

1/CMR:

    a,b,c>0 

          $\sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}$$\geq 2$

Theo AM-GM $$4(a^2+ab+b^2)(ab+bc+ca) \leq (a+b)^2(a+b+c)^2$$
Bất đẳng thức cần chứng minh đưa về $$\frac{a}{b+c} +\frac{b}{a+c} +\frac{c}{a+b} \geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$$

Hiển nhiên theo C-S. 

Spoiler



#5 viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:~NGT~

Đã gửi 03-03-2017 - 11:08

Chỗ bất đẳng thức $4(a^2+ab+b^2)(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2(a+b)^2$ là biến đổi tương đương hay làm cách nào để chứng minh ạ ???


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 03-03-2017 - 11:12

                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#6 NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{\lim_{I\rightarrow U} Love= +\infty}$

Đã gửi 03-03-2017 - 17:45

Chỗ bất đẳng thức $4(a^2+ab+b^2)(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2(a+b)^2$ là biến đổi tương đương hay làm cách nào để chứng minh ạ ???

Bất đẳng thức trên theo mình thì là không chính xác. Vì $\frac{3}{4} a^{2}+ab+b^{2} \geq (a+b)^{2}$ chứ không phải là $\frac{3}{4} a^{2}+ab+b^{2} \leq (a+b)^{2}$. Nên bđt chứa 2 tích ngược chiều nhau. Nên ko thể giải bđt này bằng AM-GM 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 03-03-2017 - 17:47

The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#7 Nhok Tung

Nhok Tung

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KTPM2018_UIT
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 03-03-2017 - 22:54

Bất đẳng thức trên theo mình thì là không chính xác. Vì $\frac{3}{4} a^{2}+ab+b^{2} \geq (a+b)^{2}$ chứ không phải là $\frac{3}{4} a^{2}+ab+b^{2} \leq (a+b)^{2}$. Nên bđt chứa 2 tích ngược chiều nhau. Nên ko thể giải bđt này bằng AM-GM 

Thế này nhé bạn

Áp dụng bđt $4xy\leq (x+y)^{2}$

$4(a^{2}+ab+b^{2})(ab+bc+ca)\leq (a^{2}+2ab+b^{2}+bc+ca)^{2}=(a+b)^{2}(a+b+c)^{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nhok Tung: 03-03-2017 - 22:57

                        $\lim_{I\rightarrow Math}LOVE=+\infty$

                                          


#8 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-03-2017 - 23:25

1/CMR:

    a,b,c>0 

          $\sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}$$\geq 2$

 

Ta có

 \[\sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2} - 2 = \sum \frac{ab(a-b)^2}{(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)} \geqslant 0.\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh