1/CMR:
a,b,c>0
$\sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}$$\geq 2$
2/ CMR:
a,b,c>0
CMR: $\sum a\sqrt{a^2+bc}\geq \sqrt{3}(ab+bc+ac )$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan2001: 02-03-2017 - 20:33
1/CMR:
a,b,c>0
$\sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}$$\geq 2$
2/ CMR:
a,b,c>0
CMR: $\sum a\sqrt{a^2+bc}\geq \sqrt{3}(ab+bc+ac )$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan2001: 02-03-2017 - 20:33
1/CMR:
a,b,c>0
$\sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}$
2/ CMR:
a,b,c>0
CMR: $\sum a\sqrt{a^2+bc}\geq \sqrt{3}(ab+bc+ac )$
đề bài 1 thiếu kìa bạn
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
2) đề bài mình nghĩ là chỗ vế phải là $\sqrt{2}$
Solutions: Ta có bổ đề sau : với x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $xyz=1$ thì $S=\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\frac{1}{\sqrt{y+1}}+\frac{1}{\sqrt{z+1}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$
C/m: vì $xyz=1$ nên ta có thể đặt $(x;y;z)=(\frac{m}{n};\frac{n}{p};\frac{p}{m})$ khi đó bđt tương đương với:
$\sqrt{\frac{2n}{m+n}}+\sqrt{\frac{2p}{p+n}}+\sqrt{\frac{2m}{m+p}}\leq 3$
$\leftrightarrow \sqrt{\frac{2n(m+p)}{(m+n)(m+p)}}+\sqrt{\frac{2p(m+n)}{(m+n)(n+p)}}+\sqrt{\frac{2m(n+p)}{(m+p)(n+p)}}\leq 3$ (*)
Ap dụng bđt Cauchy-Schwarz thì ta có $S^{2}\leq (\sum{2n(m+p)})(\sum{\frac{1}{(m+n)(n+p)}})=\frac{8(m+n+p)(mn+np+mp)}{(m+n)(n+p)(m+p)}$(2)
Mà ta có bđt quen thuộc sau: $(a+b+c)(ab+bc+ca)\leq \frac{8}{9}(a+b)(b+c)(c+a)$ với a,b,c là các số thực dương (1)
Từ (1) và (2) thì ta được $S^{2}\leq 9 \rightarrow S\leq 3$ Bổ đề được chứng minh.
Quay lại với bài toán: Ap dụng bđt Cauchy-Schwarz thì ta có:
$(a\sqrt{a^{2}+bc}+b\sqrt{b^{2}+ca}+c\sqrt{c^{2}+ab})(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+ab}})\geq (a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$
Ap dụng bổ đề trên cho bộ ba số $(\frac{a^{2}}{bc};\frac{b^{2}}{ca};\frac{c^{2}}{ab})$ thì ta có:
$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+ab}} \leq \frac{3}{\sqrt{2}}$
Suy ra $\frac{3}{\sqrt{2}}(a\sqrt{a^{2}+bc}+b\sqrt{b^{2}+ca}+c\sqrt{c^{2}+ab})\geq 3(ab+bc+ca)$
$\rightarrow a\sqrt{a^{2}+bc}+b\sqrt{b^{2}+ca}+c\sqrt{c^{2}+ab}\geq \sqrt{2}(ab+bc+ca)$ (Q.E.D)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 02-03-2017 - 21:35
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
1/CMR:
a,b,c>0
$\sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}$$\geq 2$
Theo AM-GM $$4(a^2+ab+b^2)(ab+bc+ca) \leq (a+b)^2(a+b+c)^2$$
Bất đẳng thức cần chứng minh đưa về $$\frac{a}{b+c} +\frac{b}{a+c} +\frac{c}{a+b} \geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$$
Hiển nhiên theo C-S.
Chỗ bất đẳng thức $4(a^2+ab+b^2)(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2(a+b)^2$ là biến đổi tương đương hay làm cách nào để chứng minh ạ ???
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 03-03-2017 - 11:12
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
Chỗ bất đẳng thức $4(a^2+ab+b^2)(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2(a+b)^2$ là biến đổi tương đương hay làm cách nào để chứng minh ạ ???
Bất đẳng thức trên theo mình thì là không chính xác. Vì $\frac{3}{4} a^{2}+ab+b^{2} \geq (a+b)^{2}$ chứ không phải là $\frac{3}{4} a^{2}+ab+b^{2} \leq (a+b)^{2}$. Nên bđt chứa 2 tích ngược chiều nhau. Nên ko thể giải bđt này bằng AM-GM
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 03-03-2017 - 17:47
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
Bất đẳng thức trên theo mình thì là không chính xác. Vì $\frac{3}{4} a^{2}+ab+b^{2} \geq (a+b)^{2}$ chứ không phải là $\frac{3}{4} a^{2}+ab+b^{2} \leq (a+b)^{2}$. Nên bđt chứa 2 tích ngược chiều nhau. Nên ko thể giải bđt này bằng AM-GM
Thế này nhé bạn
Áp dụng bđt $4xy\leq (x+y)^{2}$
$4(a^{2}+ab+b^{2})(ab+bc+ca)\leq (a^{2}+2ab+b^{2}+bc+ca)^{2}=(a+b)^{2}(a+b+c)^{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nhok Tung: 03-03-2017 - 22:57
$\lim_{I\rightarrow Math}LOVE=+\infty$
1/CMR:
a,b,c>0
$\sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}$$\geq 2$
Ta có
\[\sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2} - 2 = \sum \frac{ab(a-b)^2}{(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)} \geqslant 0.\]
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh