Chủ đề này có 5 trả lời

[Nhok Tung]

Cho $S_{n}=\frac{n+1}{2^{n+1}}\left ( 2+\frac{2^{2}}{2}+\frac{2^{3}}{3}+...+\frac{2^{n}}{n} \right )$

Tìm lim S_n

[An Infinitesimal]

Cho $S_{n}=\frac{n+1}{2^{n+1}}\left ( 2+\frac{2^{2}}{2}+\frac{2^{3}}{3}+...+\frac{2^{n}}{n} \right )$

Tìm lim S_n

 

 

Vì $\dfrac{2^{n+1}S_{n}}{n+1}= 2+\frac{2^{2}}{2}+\frac{2^{3}}{3}+...+\frac{2^{n}}{n} =\dfrac{2^{n+2}S_{n+1}}{n+2}-\frac{2^{n+1}}{n+1}$

nên

$$ \dfrac{2^{n+1} \left(S_n+1\right)}{n+1}=\dfrac{2^{n+2}S_{n+1}}{n+2}.$$

 

Suy ra $$S_{n+1}= \frac{(n+2)(S_n+1)}{2n+2}.$$

Vì $S_1=1\ge 1$ nên $S_n \ge 1.$

 

Đặt $v_n=S_n-1 \ge 0 \forall n\in \mathbb{N}.$ Ta có

$$ v_{n+1}= \frac{n+2}{2n+2}v_n+\frac{1}{n+1} \le \frac{2}{3} v_n+\frac{1}{n+1}.$$

Dùng bổ đề sau suy ra $\lim v_n=1$ hay $\lim S_n=1.$

 

 

Cho $2$ dãy số $(a_{n})$, $(b_{n})$ ko âm và số thực $q\in (0;1)$ thỏa mãn $a_{n+1}\leq qa_{n}+b_{n}$ $\forall n\in\mathbb{N^{*}}$ với $\lim_{n\rightarrow +\infty} b_{n}=0$ . CMR: $\lim_{n\rightarrow +\infty} a_{n}=0$ 

 

https://diendantoanh...bổ-đề-giới-hạn/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 09-03-2017 - 22:12

[Thuat ngu]

Vì $\dfrac{2^{n+1}S_{n}}{n+1}=\frac{1}{2^{n+1}}\left ( 2+\frac{2^{2}}{2}+\frac{2^{3}}{3}+...+\frac{2^{n}}{n} \right )=\dfrac{2^{n+2}S_{n+1}}{n+2}-\frac{2^{n+1}}{n+1}$

nên

$$ \dfrac{2^{n+1} \left(S_n+1\right)}{n+1}=\dfrac{2^{n+2}S_{n+1}}{n+2}.$$

 

Suy ra $$S_{n+1}= \frac{(n+2)(S_n+1)}{2n+2}.$$

Vì $S_1=1\ge 1$ nên $S_n \ge 1.$

 

P.S: Chưa nhận ra thêm tính chất của dãy $\{S_n\}.$

 

Bước biến đổi đầu tiên của anh vanchanh123 hình như có chút nhầm lẫn? Lẽ ra phải là: $\frac{2^{n+1}S_{n}}{n+1}=2+\frac{2^{2}}{2}+\frac{2^{3}}{3}+...+\frac{2^{n}}{n}$ 

Các bước biến đổi sau là đúng nhưng anh có thể xóa $\frac{1}{2^{n+1}}$ đi cho mọi người tiện theo dõi được không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thuat ngu: 09-03-2017 - 22:04

[An Infinitesimal]

Bước biến đổi đầu tiên của anh vanchanh123 hình như có vấn đề? Lẽ ra phải là: $\frac{2^{n+1}S_{n}}{n+1}=2+\frac{2^{2}}{2}+\frac{2^{3}}{3}+...+\frac{2^{n}}{n}$

Anh quên bỏ phần thừa! Anh đã sửa! Cảm ơn em!

[MincopxkiA1]

Vì $\dfrac{2^{n+1}S_{n}}{n+1}= 2+\frac{2^{2}}{2}+\frac{2^{3}}{3}+...+\frac{2^{n}}{n} =\dfrac{2^{n+2}S_{n+1}}{n+2}-\frac{2^{n+1}}{n+1}$

nên

$$ \dfrac{2^{n+1} \left(S_n+1\right)}{n+1}=\dfrac{2^{n+2}S_{n+1}}{n+2}.$$

 

Suy ra $$S_{n+1}= \frac{(n+2)(S_n+1)}{2n+2}.$$

Vì $S_1=1\ge 1$ nên $S_n \ge 1.$

 

Đặt $v_n=S_n-1 \ge 0 \forall n\in \mathbb{N}.$ Ta có

$$ v_{n+1}= \frac{n+2}{2n+2}v_n+\frac{1}{n+1} \le \frac{2}{3} v_n+\frac{1}{n+1}.$$

Dùng bổ đề sau suy ra $\lim v_n=1$ hay $\lim S_n=1.$

 

 

 

https://diendantoanh...bổ-đề-giới-hạn/

Anh ơi bài này mình có thể tìm CTTQ nó được không

[An Infinitesimal]

Anh ơi bài này mình có thể tìm CTTQ nó được không

Mình chưa nghĩ ra được- có lẽ phức tạp lắm!