Chủ đề này có 6 trả lời

[Coppy dera]

Cho a,b,c>0 và $a+b+c=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Tim Max

 

$\frac{1}{a^2+b^2+3}+\frac{1}{b^2+c^2+3}+\frac{1}{c^2+a^2+3}$

[phamhuy1801]

Cho a,b,c>0 và $a+b+c=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Tim Max

 

$\frac{1}{a^2+b^2+3}+\frac{1}{b^2+c^2+3}+\frac{1}{c^2+a^2+3}$

 Có: 

$\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+3} \ge \frac{(\sum \sqrt{a^2+b^2})^2}{2(a^2+b^2+c^2)+3}$

$=\frac{2(a^2+b^2+c^2)+2\sum\sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}}{2(a^2+b^2+c^2)+3} $

$\ge \frac{2(a^2+b^2+c^2)+2\sum (a^2+bc)}{2(a^2+b^2+c^2)+3}=\frac{3}{2}$

Nên $\sum \frac{1}{a^2+b^2+3}=\frac{1}{3}.(3-\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+3}) \le \frac{1}{2}$

[viet9a14124869]

 Có: 

$\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+3} \ge \frac{(\sum \sqrt{a^2+b^2})^2}{2(a^2+b^2+c^2)+3}$

$=\frac{2(a^2+b^2+c^2)+2\sum\sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}}{2(a^2+b^2+c^2)+3} $

$\ge \frac{2(a^2+b^2+c^2)+2\sum (a^2+bc)}{2(a^2+b^2+c^2)+3}=\frac{3}{2}$

Nên $\sum \frac{1}{a^2+b^2+3}=\frac{1}{3}.(3-\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+3}) \le \frac{1}{2}$

chỗ này bạn xem lại đi ,,,, sai rồi đấy,,,,,max của nó là $\frac{4}{3}$ khi a=b=c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ cơ .........

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 05-03-2017 - 18:57

[PlanBbyFESN]

$\frac{1}{a^2+b^2+3}+\frac{1}{b^2+c^2+3}+\frac{1}{a^2+c^2+3}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow 2\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+3}\geq 3$

 

$2(a^{2}+b^{2})=(a+b)^{2}+(a-b)^{2}$

 

Cauchy Schwarz:

 

$\Rightarrow 2\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+3}=\sum \left [ \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+3} +\frac{(a-b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+3}\right ]\geq \frac{4(a+b+c)^{2}+4\left \{(a-c)^{2} ;(b-a)^{2};(c-b)^{2} \right \}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+27}$

 

Mà $27=2(a+b+c)^{2}$. Quy đồng BĐT dưới dang thuần nhất ta được:

 

$\frac{4(a+b+c)^{2}+4(a-c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+27}\geq 3\Leftrightarrow \frac{4(a+b+c)^{2}+4(a-c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2(a+b+c)^{2}}\geq 3$

 

$\Leftrightarrow (a-b)(b-c)\geq 0$

Tương tự ta cũng có: $\Leftrightarrow \begin{bmatrix} (b-c)(c-a)\geq 0 & \\ (c-a)(a-b)\geq 0 & \end{bmatrix}$

 

$\left [(a-b)(b-c)(c-a) \right ]^{2}\geq 0\Rightarrow$ Tồn tại 1 BĐT đúng! $\blacksquare$

 

[phamngochung9a]

 

$\frac{1}{a^2+b^2+3}+\frac{1}{b^2+c^2+3}+\frac{1}{a^2+c^2+3}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow 2\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+3}\geq 3$

 

$2(a^{2}+b^{2})=(a+b)^{2}+(a-b)^{2}$

 

Cauchy Schwarz:

 

$\Rightarrow 2\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+3}=\sum \left [ \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+3} +\frac{(a-b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+3}\right ]\geq \frac{4(a+b+c)^{2}+4\left \{(a-c)^{2} ;(b-a)^{2};(c-b)^{2} \right \}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+27}$

 

Mà $27=2(a+b+c)^{2}$. Quy đồng BĐT dưới dang thuần nhất ta được:

 

$\frac{4(a+b+c)^{2}+4(a-c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+27}\geq 3\Leftrightarrow \frac{4(a+b+c)^{2}+4(a-c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2(a+b+c)^{2}}\geq 3$

 

$\Leftrightarrow (a-b)(b-c)\geq 0$

Tương tự ta cũng có: $\Leftrightarrow \begin{bmatrix} (b-c)(c-a)\geq 0 & \\ (c-a)(a-b)\geq 0 & \end{bmatrix}$

 

$\left [(a-b)(b-c)(c-a) \right ]^{2}\geq 0\Rightarrow$ Tồn tại 1 BĐT đúng! $\blacksquare$

 

 

Bạn biến đổi nhầm ở nhiều chỗ quá 

• Thứ nhất, ta phải có: $\frac{1}{a^2+b^2+3}+\frac{1}{b^2+c^2+3}+\frac{1}{a^2+c^2+3}\leq \frac{2}{3}\Leftrightarrow 2\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+3}\geq 2$
• Thứ hai, theo $Cauchy-Schwarz$ thì: $2\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+3}=\sum \left [ \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+3} +\frac{(a-b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+3}\right ]\geq \frac{4(a+b+c)^{2}+4\left \{(a-c)^{2} ;(b-a)^{2};(c-b)^{2} \right \}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+9}$
• Thứ ba, $\frac{4(a+b+c)^{2}+4(a-c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2(a+b+c)^{2}}\geq 3$ không tương đương với $(a-b)(b-c) \geq 0$

Một điều quan trọng nữa là bạn đã nhầm bài này với ví dụ trong Phương pháp yếu tố ít nhất của Võ Quốc Bá Cẩn. Trong ví dụ đó, giả thiết là $ab+bc+ca= \frac{9}{4}$. Nếu trong bài toán này mà sử dụng yếu tố ít nhất thì sẽ không phân tích thành nhân tử $(a-b)(b-c)$ được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 05-03-2017 - 21:53

[Coppy dera]

cuối cùng thi ai có lời giải đúng ạ

[PlanBbyFESN]

Bạn biến đổi nhầm ở nhiều chỗ quá 

• Thứ nhất, ta phải có: $\frac{1}{a^2+b^2+3}+\frac{1}{b^2+c^2+3}+\frac{1}{a^2+c^2+3}\leq \frac{2}{3}\Leftrightarrow 2\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+3}\geq 2$
• Thứ hai, theo $Cauchy-Schwarz$ thì: $2\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+3}=\sum \left [ \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+3} +\frac{(a-b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+3}\right ]\geq \frac{4(a+b+c)^{2}+4\left \{(a-c)^{2} ;(b-a)^{2};(c-b)^{2} \right \}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+9}$
• Thứ ba, $\frac{4(a+b+c)^{2}+4(a-c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2(a+b+c)^{2}}\geq 3$ không tương đương với $(a-b)(b-c) \geq 0$

Một điều quan trọng nữa là bạn đã nhầm bài này với ví dụ trong Phương pháp yếu tố ít nhất của Võ Quốc Bá Cẩn. Trong ví dụ đó, giả thiết là $ab+bc+ca= \frac{9}{4}$. Nếu trong bài toán này mà sử dụng yếu tố ít nhất thì sẽ không phân tích thành nhân tử $(a-b)(b-c)$ được

 

Cảm ơn bạn đã góp ý. Bài này mình làm cách đây hơn 1 năm rồi cop lại không để ý lắm, ra là hai bài khác giả thiết, nhưng hồi đó mình tự tư duy cả đấy, có lẽ sai sót về con số thôi!

Mình nghĩ đây là 1 hướng có thể làm ra     Ai có hứng thú thì tiếp tục nha. Lưu ý là xem lại đề, đề bài không hợp lí lắm ở giả thiết! 

 

Topic dừng tại đây !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 06-03-2017 - 19:23