Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $x,y\in [1;2]$. Tìm GTLN của $S=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Katyusha

Katyusha

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 461 Bài viết

Cho $x,y\in [1;2]$. Tìm GTLN của $S=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$



#2
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Cho $x,y\in [1;2]$. Tìm GTLN của $S=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$

Lời giải: Do vai trò $x,y$ như nhau nên KMTTQ, giả sử: $x\ge y$.

Đặt $S=f(x)=\frac{1}{y}.x+\frac{1}{x}.y$.

$\implies f'(x)=\frac{1}{y}-\frac{y}{x^2}=\frac{x^2-y^2}{x^2y}\ge 0$.

$\implies f(x)$ đồng biến trên $[1;2]$.

$\implies f(x)\le f(2)=\frac{2}{y}+\frac{y}{2}(\to g(y))$.

Xét $g(y)=\frac{2}{y}+\frac{y}{2},y\in [1;2]$.

Ta có: $g'(y)=\frac{1}{2}-\frac{2}{y^2}=\frac{y^2-4}{2y^2}\le 0$.

$\implies g(y)$ nghịch biến trên $[1;2]\implies g(y)\le g(1)=\frac{5}{2}\implies S\le \frac{5}{2}$.

Vậy $S_{max}=\frac{5}{2}$. Dấu $=$ xảy ra tại $(x;y)=(1;2),(2;1)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 05-03-2017 - 17:16


#3
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Cho $x,y\in [1;2]$. Tìm GTLN của $S=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$

 

\[\frac52 - \frac xy - \frac yx = \frac{(2x-y)(2y-x)}{2xy} \geqslant 0.\]

Đẳng thức xảy ra chẳng hạn $x=1,\,y=2$ nên giá trị lớn nhất cần tìm là $\frac52.$


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh