Cho $x,y\in [1;2]$. Tìm GTLN của $S=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$
Cho $x,y\in [1;2]$. Tìm GTLN của $S=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$
#1
Đã gửi 05-03-2017 - 16:49
#2
Đã gửi 05-03-2017 - 17:12
Cho $x,y\in [1;2]$. Tìm GTLN của $S=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$
Lời giải: Do vai trò $x,y$ như nhau nên KMTTQ, giả sử: $x\ge y$.
Đặt $S=f(x)=\frac{1}{y}.x+\frac{1}{x}.y$.
$\implies f'(x)=\frac{1}{y}-\frac{y}{x^2}=\frac{x^2-y^2}{x^2y}\ge 0$.
$\implies f(x)$ đồng biến trên $[1;2]$.
$\implies f(x)\le f(2)=\frac{2}{y}+\frac{y}{2}(\to g(y))$.
Xét $g(y)=\frac{2}{y}+\frac{y}{2},y\in [1;2]$.
Ta có: $g'(y)=\frac{1}{2}-\frac{2}{y^2}=\frac{y^2-4}{2y^2}\le 0$.
$\implies g(y)$ nghịch biến trên $[1;2]\implies g(y)\le g(1)=\frac{5}{2}\implies S\le \frac{5}{2}$.
Vậy $S_{max}=\frac{5}{2}$. Dấu $=$ xảy ra tại $(x;y)=(1;2),(2;1)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 05-03-2017 - 17:16
- Katyusha, PlanBbyFESN và Element hero Neos thích
#3
Đã gửi 05-03-2017 - 17:47
Cho $x,y\in [1;2]$. Tìm GTLN của $S=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$
Vì
\[\frac52 - \frac xy - \frac yx = \frac{(2x-y)(2y-x)}{2xy} \geqslant 0.\]
Đẳng thức xảy ra chẳng hạn $x=1,\,y=2$ nên giá trị lớn nhất cần tìm là $\frac52.$
- Katyusha, tritanngo99, Element hero Neos và 2 người khác yêu thích
Ho Chi Minh City University Of Transport
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh