Đến nội dung


Hình ảnh

Tuần 1 tháng 3/2017: Chứng minh $U,V,W$ thẳng hàng trên đường thẳng vuông góc với $HL$

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4209 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 05-03-2017 - 18:17

Như vậy lời giải cho bài Tuần 4 tháng 2/2017 đã được thầy Hùng đưa tại đây kèm theo đó là bài toán mới. Xin trích dẫn lại bài toán mới

 

Cho tam giác $ABC$ có tâm ngoại tiếp $(O)$, trực tâm $H$ và điểm Lemoine là $L$. $AO,BO,CO$ lần lượt cắt các đường tròn ngoại tiếp tam giác  $BOC,COA,AOB$ tại $D,E,F$ khác $O$. $X,Y,Z$ là trung điểm $BC,CA,AB$. Trung trực của $AD,BE,CF$ lần lượt cắt $YZ,ZX,XY$ tại $U,V,W$. Chứng minh rằng $U,V,W$ thẳng hàng trên một đường thẳng vuông góc với $HL$.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 manhtuan00

manhtuan00

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 68 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Hình học, số học, phương trình hàm, tổ hợp

Đã gửi 09-03-2017 - 21:22

Lời giải của em ạ

Gọi $H_a,H_b,H_c$ là 3 chân đường cao thì $YZ$ là trung trưc $AH_a$

Khi đó ta có  $X,Y,Z$ chính là tâm ngoại tiếp các tam giác $\triangle AH_aD,\triangle BH_bE,\triangle CH_cF$
Xét phép biến hình $R_{\triangle} \circ I^A_{AB.AC}$, $D$ biến thành $H$, $K_a$ biến thành $M$ là trung điểm $BC$ và $H_a$ biến thành $A'$ đối xứng $A$ qua $O$. Ta có $M,H,A'$ thẳng hàng nên $A,H_a,K_a,D$ đồng viên
Tương tự có $B,H_b,K_b,E$ đồng viên và $C,H_c,K_c,F$ đồng viên
Có $\overline {HA}.\overline{HH_a}= \overline {HB}.\overline{HH_b}= \overline {HC}.\overline{HH_c}$ nên $H$ nằm trên trục đẳng phương của 3 đường tròn 
$(U),(V),(W)$
Lại có $\overline {LA}.\overline{LK_a}=\overline {LB}.\overline{LK_b}=\overline {LC}.\overline{LK_c}$ nên $L$ cũng nằm trên trục đẳng phương của 3 đường tròn
Vậy $HL$ nằm trên trục đẳng phương của 3 đường tròn này nên $HL \perp \overline{U,V,W}$

Hình gửi kèm

  • Untitled.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 09-03-2017 - 21:27






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh