Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh

Tuần 1 tháng 3/2017: Chứng minh $U,V,W$ thẳng hàng trên đường thẳng vuông góc với $HL$

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4183 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 05-03-2017 - 18:17

Như vậy lời giải cho bài Tuần 4 tháng 2/2017 đã được thầy Hùng đưa tại đây kèm theo đó là bài toán mới. Xin trích dẫn lại bài toán mới

 

Cho tam giác $ABC$ có tâm ngoại tiếp $(O)$, trực tâm $H$ và điểm Lemoine là $L$. $AO,BO,CO$ lần lượt cắt các đường tròn ngoại tiếp tam giác  $BOC,COA,AOB$ tại $D,E,F$ khác $O$. $X,Y,Z$ là trung điểm $BC,CA,AB$. Trung trực của $AD,BE,CF$ lần lượt cắt $YZ,ZX,XY$ tại $U,V,W$. Chứng minh rằng $U,V,W$ thẳng hàng trên một đường thẳng vuông góc với $HL$.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 manhtuan00

manhtuan00

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Hình học, số học, phương trình hàm, tổ hợp

Đã gửi 09-03-2017 - 21:22

Lời giải của em ạ

Gọi $H_a,H_b,H_c$ là 3 chân đường cao thì $YZ$ là trung trưc $AH_a$

Khi đó ta có  $X,Y,Z$ chính là tâm ngoại tiếp các tam giác $\triangle AH_aD,\triangle BH_bE,\triangle CH_cF$
Xét phép biến hình $R_{\triangle} \circ I^A_{AB.AC}$, $D$ biến thành $H$, $K_a$ biến thành $M$ là trung điểm $BC$ và $H_a$ biến thành $A'$ đối xứng $A$ qua $O$. Ta có $M,H,A'$ thẳng hàng nên $A,H_a,K_a,D$ đồng viên
Tương tự có $B,H_b,K_b,E$ đồng viên và $C,H_c,K_c,F$ đồng viên
Có $\overline {HA}.\overline{HH_a}= \overline {HB}.\overline{HH_b}= \overline {HC}.\overline{HH_c}$ nên $H$ nằm trên trục đẳng phương của 3 đường tròn 
$(U),(V),(W)$
Lại có $\overline {LA}.\overline{LK_a}=\overline {LB}.\overline{LK_b}=\overline {LC}.\overline{LK_c}$ nên $L$ cũng nằm trên trục đẳng phương của 3 đường tròn
Vậy $HL$ nằm trên trục đẳng phương của 3 đường tròn này nên $HL \perp \overline{U,V,W}$

Hình gửi kèm

  • Untitled.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 09-03-2017 - 21:27






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh