x4 + ax3 + bx2 + cx + 1 = 0 có nghiệm . chứng minh rằng a2 + b2 + c2 >= 4/3
#1
Đã gửi 07-03-2017 - 20:12
#2
Đã gửi 07-03-2017 - 23:33
x4 + ax3 + bx2 + cx + 1 = 0 có nghiệm . chứng minh rằng a2 + b2 + c2 >= 4/3
Theo như bài chứng minh ở đây: https://diendantoanh...tìm-a2b2c2-min/ thì ta thu được:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant \frac{(x^{4}+1)^{2}}{x^{6}+x^{4}+x^{2}}$
Ta cần chứng minh: $\frac{(x^{4}+1)^{2}}{x^{6}+x^{4}+x^{2}} \geq \frac{4}{3}$ (1)
Quy đồng, thu gọn (1) ta được: $\frac{3x^8-4x^6+2x^4-4x^2+3}{3x^6+3x^4+3x^2} \geq 0$
Ta cần CM $3x^6+3x^4+3x^2 > 0$ (dễ thấy) và $3x^8-4x^6+2x^4-4x^2+3 \geq 0$
Đặt $t=x^2$, ta có $3x^8-4x^6+2x^4-4x^2+3=3t^4-4t^3+2t^2-4t+3=(t-1)^2(3t^2+2t+3) \geq 0$
Vậy $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq \frac{4}{3} $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zeref: 07-03-2017 - 23:36
- kimchitwinkle, viet9a14124869 và hkhk thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh