Đến nội dung

Hình ảnh

chứng minh bất phương trính

bất phương trính

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
hkhk

hkhk

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

 x4 + ax3 + bx2 + cx + 1 = 0 có nghiệm . chứng minh rằng a + b2 + c2 >= 4/3



#2
Zeref

Zeref

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 458 Bài viết

 x4 + ax3 + bx2 + cx + 1 = 0 có nghiệm . chứng minh rằng a + b2 + c2 >= 4/3

Theo như bài chứng minh ở đây: https://diendantoanh...tìm-a2b2c2-min/ thì ta thu được:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant \frac{(x^{4}+1)^{2}}{x^{6}+x^{4}+x^{2}}$

Ta cần chứng minh: $\frac{(x^{4}+1)^{2}}{x^{6}+x^{4}+x^{2}} \geq \frac{4}{3}$ (1)

Quy đồng, thu gọn (1) ta được: $\frac{3x^8-4x^6+2x^4-4x^2+3}{3x^6+3x^4+3x^2} \geq 0$

Ta cần CM  $3x^6+3x^4+3x^2 > 0$ (dễ thấy) và $3x^8-4x^6+2x^4-4x^2+3 \geq 0$ 

Đặt $t=x^2$, ta có $3x^8-4x^6+2x^4-4x^2+3=3t^4-4t^3+2t^2-4t+3=(t-1)^2(3t^2+2t+3) \geq 0$

Vậy $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq \frac{4}{3} $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zeref: 07-03-2017 - 23:36





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh