Chủ đề này có 2 trả lời

[tienduc]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn

$\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\geq 1$

Chứng minh rằng $a+b+c \geq ab+bc+ca$

[Nghiapnh1002]

Ta có : $\frac{1}{b+c+1}=1-\frac{b+c}{b+c+1}$ nên theo giả thiết ta có: $2\geq \sum \frac{b+c}{b+c+1}$ 

Ta có: $R.H.S \geq \frac{2(a+b+c)^2}{\sum (b+c)(b+c+1)}= \frac{2(\sum a)^2}{\sum a^2+ \sum ab+ \sum a}$ Từ đó ta có $\sum a^2 + \sum ab +\sum a \geq (\sum a)^2$. Từ đó ta có $Q.E.D$

P/s: Bài này khá nổi tiếng, đây là bài Romanian jBMO Team Selection Test 2007.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nghiapnh1002: 08-03-2017 - 15:31

[NHoang1608]

Ap dụng bđt Cauchy-Schwarzt thì ta có $(a+b+1)(a+b+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}$.

Suy ra $\frac{1}{a+b+1}\leq \frac{a+b+c^{2}}{(a+b+c)^{2}}$ tương tự với 2 bđt còn lại.

Từ đó ta có $\frac{2(a+b+c)+a^{2}+b^{2}+c^{2}}{(a+b+c)^{2}}\geq \frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{c+b+1}+\frac{1}{a+c+1}\geq 1$

Suy ra $2(a+b+c)+a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a+b+c)^{2}$

           $\Leftrightarrow 2(a+b+c) \geq 2(ab+bc+ca)$

           $\Leftrightarrow a+b+c \geq ab+bc+ca$.$

DBXR khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 08-03-2017 - 15:11