Chủ đề này có 2 trả lời

[DauKeo]

1. x,y,z,a,b,c dương.

CMR: $\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\leq \sqrt[3]{(a+x)(b+y)(c+z)}$

2. a,b,c,d dương.

CMR: $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}} > 2$

3. a,b,c dương.

CMR: $\frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}+\frac{1}{b^{3}+c^{3}+abc}+\frac{1}{c^{3}+a^{3}+abc}\leq \frac{1}{abc}$

[Trinm]

1. BĐT tương đương 

 

$\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+x)(b+y)(c+z)}}+\sqrt[3]{\frac{xyz}{(a+x)(b+y)(c+z)}}\leq 1$

$VT \leq \frac{1}{3}(\frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}+\frac{x}{x+a}+\frac{y}{b+y}+\frac{z}{c+z})=1$

 

2. Ta có : $a+(b+c+d)\geq 2\sqrt{a(b+c+d)}$

$<=> \frac{1}{2\sqrt{a(b+c+d)}}\geq \frac{1}{a+b+c+d}$

$<=>\frac{2a}{a+b+c+d}\leq \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}$

Tương tự, ta suy ra $VT \geq 2$

Dấu "=" xảy ra khi một trong 4 số $a, b, c, d = 0$

Vậy dấu "=" không xảy ra (đpcm)

 

3. Ta có $a^3 + b^3 + abc = (a+b)(a^2-ab+b^2)+abc \geq (a+b)(2ab - ab) + abc = ab(a+b+c)$

Tương tự $b^3 + c^3 + abc \geq bc(a+b+c)$

$c^3 + a^3 +abc \geq ca(a+b+c)$

$VT \leq \frac{1}{ab(a+b+c)}+\frac{1}{bc(a+b+c)}+\frac{1}{ca(a+b+c)}= \frac{1}{abc}$

(đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trinm: 08-03-2017 - 22:59

[dungxibo123]

Bài 1 chính là bất đẳng thức Holder cho 3 bộ 2 số nguyên dương