Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

bất đẳng thức cực trị

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 15 trả lời

#1
ILoveMath4864

ILoveMath4864

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

Những ai có thể giải được thì post lên chia sẻ nhé!

1. Cho a, b, c >0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

2. Cho a, b, c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=1. chứng minh 

$P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^{2}}}\leq \frac{9}{4}$

 

3. Cho a, b, c >0 thỏa mãn $a+b+c=\frac{3}{4}$ . Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}$

 

4. Cho a, b, c >0 thỏa mãn abc=1. chứng minh:

$P=\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

 

5. Cho a, b, c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=abc. chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{a^{2}+2c^{2}}}{ac}+\frac{\sqrt{c^{2}+2b^{2}}}{cb}+\frac{\sqrt{b^{2}+2a^{2}}}{ba}\geq \sqrt{3}$

 

6. Cho a, b, c >0 , abc=1. chứng minh:

$2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 7(a+b+c)-3$

 

7. Cho a, b, c >0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ . Tìm GTNN của biểu thức:

$\frac{a^{3}}{\sqrt{b^{2}+3}}+\frac{b^{3}}{\sqrt{c^{2}+3}}+\frac{c^{3}}{\sqrt{a^{2}+3}}$

 

8. Cho a, b >0 và a+b=2.  tìm GTNN của 

$T=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+3}+\frac{1}{2ab}$

 

9. Cho a, b, c >0 vaf a+b+c=1. chứng minh:

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq 30$

 

10. Cho a, b, c>0. chứng minh:

$\frac{a^{3}}{b(c+a)}+\frac{b^{3}}{c(a+b)}+\frac{c^{3}}{a(b+c)}\geq \frac{a+b+c}{2}$

 

11. Cho a, b, c >0 và abc=1. chứng minh rằng:

$\frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^{3}}{(1+c)(1+a)}+\frac{c^{3}}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ILoveMath4864: 09-03-2017 - 20:12


#2
Kagome

Kagome

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết

Những ai có thể giải được thì post lên chia sẻ nhé!

11. Cho a, b, c >0 và abc=1. chứng minh rằng:

$\frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^{3}}{(1+c)(1+a)}+\frac{c^{3}}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$

Áp dụng BĐT $Cauchy$:

$\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{a^3(1+b)(1+c)}{64(1+b)(1+c)}}=\frac{3a}{4}$

$\Rightarrow \frac{a^3}{(1+b)(1+c)}\geqslant \frac{3a}{4}-\frac{1+b}{8}-\frac{1+c}{8}=\frac{6a-b-c-2}{8}$

Tương tự $\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}\geqslant \frac{6b-a-c-2}{8},\frac{c^3}{(1+a)(1+b)}\geqslant \frac{6c-a-b-2}{8}$

$\Rightarrow \frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^3}{(1+a)(1+b)}\geqslant \frac{4(a+b+c)-6}{8}\geqslant \frac{4.3\sqrt[3]{abc}-6}{8}=\frac{3}{4}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kagome: 09-03-2017 - 11:33


#3
Kagome

Kagome

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết

7. Cho a, b, c >0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ . Tìm GTNN của biểu thức:

$\frac{a^{3}}{\sqrt{b^{2}+3}}+\frac{b^{3}}{\sqrt{c^{2}+3}}+\frac{c^{3}}{\sqrt{a^{2}+3}}$

BĐT=$\frac{a^4}{a\sqrt{b^2+3}}+\frac{b^4}{b\sqrt{c^2+3}}+\frac{c^4}{c\sqrt{a^2+3}}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a\sqrt{b^2+3}+b\sqrt{c^2+3}+c\sqrt{a^2+3}}=\frac{9}{a\sqrt{b^2+3}+b\sqrt{c^2+3}+c\sqrt{a^2+3}}$.

Áp dụng BĐT $Bunyakovsky$ :

$(a\sqrt{b^2+3}+b\sqrt{c^2+3}+c\sqrt{a^2+3})^2\leqslant (a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2+9)=3.12=36$

$\Rightarrow a\sqrt{b^2+3}+b\sqrt{c^2+3}+c\sqrt{a^2+3}\leqslant 6$

$\Rightarrow BĐT\geqslant \frac32$

Dấu $'='\Leftrightarrow a=b=c=1$



#4
HoangKhanh2002

HoangKhanh2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 483 Bài viết

Những ai có thể giải được thì post lên chia sẻ nhé!

1. Cho a, b, c >0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Bài 1: Ta có: $\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ta cần chứng minh: $\frac{a}{1-a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\Leftrightarrow \frac{1}{1-a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a$

Áp dụng BĐT AM - GM:

$2a^2.(1-a^2)(1-a^2)\leq \frac{(2a^2+1-a^2+1-a^2)^3}{27}=\frac{8}{27}\Leftrightarrow a^2(1-a^2)^2\leq \frac{4}{27}\Leftrightarrow a(1-a^2)\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}\Leftrightarrow \frac{1}{1-a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a$

Do đó: $\sum \frac{a}{b^2+c^2}=\sum \frac{a}{1-a^2}\geq \sum \frac{3\sqrt{3}}{2}(\sum a^2)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi: $a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 09-03-2017 - 12:10


#5
HoangKhanh2002

HoangKhanh2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 483 Bài viết
3. Cho a, b, c >0 thỏa mãn $a+b+c=\frac{3}{4}$ . Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}$

Bài 3:

Áp dụng BĐT AM - GM: $\sqrt[3]{a+3b}=\sqrt[3]{(a+3b).1.1}\leq \frac{a+3b+1+1}{3}=\frac{a+3b+2}{3}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{\sqrt[3]{(a+3b)}} \geq \sum \frac{3}{a+3b+2}\geq \frac{(3\sqrt{3})^2}{a+3b+2+b+3c+2+c+3a+2}=3$

Dấu "=" xảy ra khi: $a=b=c=\frac{1}{4}$



#6
viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết

Bài 4 ..... Ta có $\sum \frac{1}{a^3(b+c)}=\sum \frac{b^2c^2}{ab+ac}$ do abc=1 ,,,,,Đến đây ta đặt ab=x,bc=y,ca=z thì điều cần chứng minh chính là bất đẳng thức Mincopxki  ^-^

 

Bài 5 ..... Áp dụng bdt bunhiacopxki  ta có $\frac{\sqrt{(a^2+2c^2)(1+2)}}{ac}\geq \frac{a+2c}{ac}\Rightarrow \sum \frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\geq \sqrt{3}.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\sqrt{3}\Leftrightarrow a=b=c=1$

 

Bài 6 ..... Do abc=1 nên ta cần cm $2^2+2b^2+2c^2+4ab+4bc+4ca\geq 7(a+b+c)-3\Leftrightarrow (a+b+c-3)(2a+2b+2c-1)\geq 0$ đúng

do $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$  

 

p/s : dấu bằng bài 5 là a=b=c=3 nhé 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 09-03-2017 - 12:32

                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#7
HoangKhanh2002

HoangKhanh2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 483 Bài viết

9. Cho a, b, c >0 vaf a+b+c=1. chứng minh:

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq 30$

$\boxed{9}$

Ta có: $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}=(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca})+\frac{7}{ab+bc+ca}\geq \frac{1}{(a+b+c)^2}+\frac{7}{ab+bc+ca}\geq \frac{1}{(a+b+c)^2}+\frac{21}{(a+b+c)^2}=\frac{30}{(a+b+c)^2}$



#8
viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết

Bài 8 ........??? liệu có thiếu đề không nhỉ 

Bài 10 ........Sử dụng bdt Holder ta có $\sum \frac{a^3}{b(a+c)}.\sum b.\sum a+c \geq (a+b+c)^3$ nên ta có đpcm 


                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#9
HoangKhanh2002

HoangKhanh2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 483 Bài viết

10. Cho a, b, c>0. chứng minh:

$\frac{a^{3}}{b(c+a)}+\frac{b^{3}}{c(a+b)}+\frac{c^{3}}{a(b+c)}\geq \frac{a+b+c}{2}$

$\boxed{10}$

Giả sử: $a \geq b \geq c$

Do đó: $\frac{a^{2}}{b(c+a)}\geq \frac{b^{2}}{c(a+b)}\geq \frac{c^{2}}{a(b+c)}$

Áp dụng BĐT $Chebyshev$ ta có:

$\frac{a^{3}}{b(c+a)}+\frac{b^{3}}{c(a+b)}+\frac{c^{3}}{a(b+c)}\geq \frac{a+b+c}{3}({\frac{a^{2}}{b(c+a)}+\frac{b^{2}}{c(a+b)}+\frac{c^{2}}{a(b+c)}})\geq \frac{a+b+c}{3}.\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}=\frac{(a+b+c)^3}{6(ab+bc+ca)}\geq \frac{(a+b+c)^3}{2(a+b+c)^2}=\frac{a+b+c}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi: $a=b=c$



#10
ILoveMath4864

ILoveMath4864

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

Cảm Ơn tất cả các bạn nhé!



#11
dungxibo123

dungxibo123

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 330 Bài viết

Bài 1 : xem ở đây


myfb : www.facebook.com/votiendung.0805
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~o0o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
SỢ HÃI giúp ta tồn tại

NGHỊ LỰC giúp ta đứng vững

KHÁT VỌNG giúp ta tiến về phía trước

Võ Tiến Dũng  

:like  :like  :like  :like  :like 

 

 


#12
The Flash

The Flash

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 190 Bài viết

bài 8 phải cho a+b bằng bao nhiêu đó mới làm được



#13
Trinm

Trinm

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 35 Bài viết

Mình giải bài 2 nhé :

$VT = \frac{2a}{\sqrt{ab+bc+ca+a^2}}+\frac{2b}{\sqrt{ab+bc+ca+b^2}}+\frac{2c}{\sqrt{ab+bc+ca+c^2}}=\frac{2a}{\sqrt{(a+c)(a+b)}}+\frac{2b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{2c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}$

$\leq \frac{a}{a+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}=3$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Đề sai nhé bạn :)

Bài 5 mình xài Minkowski


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trinm: 09-03-2017 - 18:51


#14
ILoveMath4864

ILoveMath4864

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

Mình giải bài 2 nhé :

$VT = \frac{2a}{\sqrt{ab+bc+ca+a^2}}+\frac{2b}{\sqrt{ab+bc+ca+b^2}}+\frac{2c}{\sqrt{ab+bc+ca+c^2}}=\frac{2a}{\sqrt{(a+c)(a+b)}}+\frac{2b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{2c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}$

$\leq \frac{a}{a+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}=3$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Đề sai nhé bạn :)

Bài 5 mình xài Minkowski

có vẻ sai thật nhưng không giống như đề bài của bạn, mình sẽ sửa lại.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ILoveMath4864: 09-03-2017 - 20:10


#15
ILoveMath4864

ILoveMath4864

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

Đề bài bài 2 có chút thay đổi nhé mn.!



#16
ILoveMath4864

ILoveMath4864

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

bài 8 phải cho a+b bằng bao nhiêu đó mới làm được

đúng rồi, bài đó có a+b=2 , mình quên mất







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức, cực trị

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh