Đến nội dung

Hình ảnh

CMR $f(1)=f(2)=...=f(12)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Subtract Zero

Subtract Zero

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

Cho f là 1 đa thức hệ số nguyên thỏa $1\leq f(n)\leq 11$ với mọi $n\in \left \{ 0,1,2,...,11,12 \right \}$

CMR $f(1)=f(2)=...=f(12)$


Tôi không lười biếng, tôi đơn giản chỉ: "Tiết kiệm năng lượng"

 

                                                                          ---Oreki Houtarou---


#2
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Cho f là 1 đa thức hệ số nguyên thỏa $1\leq f(n)\leq 11$ với mọi $n\in \left \{ 0,1,2,...,11,12 \right \}$

CMR $f(1)=f(2)=...=f(12)$

 

Làm kiểu chân tay thử!

 

Vì $f(12)-f(1) \vdots (12-1)=11$. Suy ra $f(12)=f(1).$ 

 

Và $f(12)-f(2k-1)= f(1)-f(2k-1) \vdots lcm(13-2k,2k-2)=2(k-1)(13-2k) >11 \forall k =\overline{2,6}.$

(Nhận xét: vì $13-2k =11+(2-2k)$ nên $gcd(13-2k,2k-2)=gcd(11,2k-2)=gcd(11,k-1)=1 \forall  k =\overline{2,6}.$


 

Suy ra $$ f(2k-1)= f(12)\, \forall k =\overline{1,6}.$$ 

 

 

Ta có $f(12)-f(2k)= f(1)-f(2k) \vdots lcm(12-2k,2k-1)=(2k-1)(12-2k) \ge 11 \forall k =\overline{1,5}.$

(Nhận xét: vì $12-2k =11+(1-2k)$ nên $gcd(12-2k,2k-1)=gcd(11,2k-1)=gcd(11,2k-1)=1 \forall  k =\overline{2,5}.$

 

 

Suy ra $$ f(2k)= f(12)\, \forall k =\overline{1,5}.$$ 

 

Suy ra ĐPCM.


Đời người là một hành trình...





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh