Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh $3(a+b+c)\geq \sqrt{8a^2+1}+\sqrt{8b^2+1}+\sqrt{8c^2+1}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 tienduc

tienduc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 580 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:$\color{red}{\boxed{\boxed{\rightarrow \bigstar \textrm{Mathematics} \bigstar \leftarrow }}}$

Đã gửi 09-03-2017 - 20:26

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c= \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng

$3(a+b+c)\geq \sqrt{8a^2+1}+\sqrt{8b^2+1}+\sqrt{8c^2+1}$



#2 NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{\lim_{I\rightarrow U} Love= +\infty}$

Đã gửi 09-03-2017 - 21:12

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c= \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng

$3(a+b+c)\geq \sqrt{8a^2+1}+\sqrt{8b^2+1}+\sqrt{8c^2+1}$

Solution: Ap dụng bđt Cauchy-Schwarzt thì ta có: 

   $(\sqrt{8a^{2}+1}+\sqrt{8b^{2}+1}+\sqrt{8c^{2}+1})^{2}\leq (a+b+c)(\frac{8a^{2}+1}{a}+\frac{8b^{2}+1}{b}+\frac{8c^{2}+1}{c})$

Mà $ (a+b+c)(\frac{8a^{2}+1}{a}+\frac{8b^{2}+1}{b}+\frac{8c^{2}+1}{c})= (a+b+c)(8a+8b+8c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ 

       $= (a+b+c)(8a+8b+8c+a+b+c)= 9(a+b+c)^{2}$

Suy ra $(\sqrt{8a^{2}+1}+\sqrt{8b^{2}+1}+\sqrt{8c^{2}+1})^{2}\leq 9(a+b+c)^{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{8a^{2}+1}+\sqrt{8b^{2}+1}+\sqrt{8c^{2}+1}\leq 3(a+b+c)$ Q.E.D

DBRX khi $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 09-03-2017 - 21:23

The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#3 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 10-03-2017 - 17:40

KMTTQ, $a \geq b \geq c$
Khi đó dễ cmr $a - \frac{1}{a} \geq b-\frac{1}{b} \geq c - \frac{1}{c}$
Và $3+ \sqrt{8+ \frac{1}{a^2}} \leq 3+ \sqrt{8+ \frac{1}{b^2}} \leq 3+\sqrt{8+\frac{1}{c^2}}$
Bđt cần cm tương đương với
$\sum \frac{a-\frac{1}{a}}{3+ \sqrt{8+\frac{1}{a^2}}} \geq 0$
Áp dụng bđt Cheybershev kết hợp điều kiện ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 10-03-2017 - 17:41


#4 toanhoc2017

toanhoc2017

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1011 Bài viết

Đã gửi 12-01-2020 - 23:47

hay g






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh