Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR: $\frac{1}{ab+2c^{2}+2c}+\frac{1}{bc+2a^{2}+2a}+\frac{1}{ca+2b^{2}+2b}\geq \frac{1}{ab+bc+ac}$

bđt 9

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 LinhToan

LinhToan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 269 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:TOÁN HỌC

Đã gửi 09-03-2017 - 20:40

1. a,.b.,c dương thỏa mãn a+b+c=1.

CMR: $\frac{1}{ab+2c^{2}+2c}+\frac{1}{bc+2a^{2}+2a}+\frac{1}{ca+2b^{2}+2b}\geq \frac{1}{ab+bc+ac}$

2. a,b,c dương.

CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 2abc+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$

3. a,b,c dương thỏa mãn : a+b+c=3.

CMR: $\frac{a^{2}+bc}{b+ca}+\frac{b^{2}+ca}{c+ab}+\frac{c^{2}+a}{a+bc}\geq 3$



#2 quangtohe

quangtohe

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Haiduong city,CNT Haiduong

Đã gửi 09-03-2017 - 21:31

3.Đặt A=$\sum \frac{a^{2}+bc}{b+ca}$

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có : $3b+3ac= (a+b+c)b+3ac\leq \sum a^{2}+\sum ab$

Suy ra: $\frac{a^{2}+bc}{a+bc}\geq \frac{3a^{2}+3bc}{\sum a^{2}+\sum ab}$

Thiết lập 3 BĐT tương tự rồi cộng lại ta đc đpcm

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chi khi a=b=c=1


quangtohe1234567890


#3 NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{\lim_{I\rightarrow U} Love= +\infty}$

Đã gửi 09-03-2017 - 22:59

2) BĐT đã cho tương đương với: 

    $(a^{3}+b^{3}+c^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 2abc( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) + a^{2}+b^{2}+c^{2}$

    $\Leftrightarrow (a^{3}+b^{3}+c^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 2(ab+bc+ca)+a^{2}+b^{2}+c^{2}$

    $\Leftrightarrow (a^{3}+b^{3}+c^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq (a+b+c)^{2}$

Mặt khác áp dụng bđt Cauchy-Schwarzt thì ta có $(a^{3}+b^{3}+c^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq (a+b+c)^{2}$

Từ đây suy ra ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.


The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#4 quangtohe

quangtohe

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Haiduong city,CNT Haiduong

Đã gửi 10-03-2017 - 12:40

1. Ta có $\sum \frac{1}{ab+2c^{2}+2c}= \sum \frac{1}{(2c+b)(2c+a)}$ (do a+b+c=1)

Áp dụng bđt AM-GM ta có $\frac{1}{(2c+b)(2c+a)}= \frac{ab}{(2bc+ab)(2ac+ab)}\geq \frac{ab}{(ab+bc+ca)^{2}}$

CM 3 bđt tương tự rồi cộng lại ta đc đpcm

Dấu = xảy ra <=> $a= b= c= \frac{1}{3}$


quangtohe1234567890


#5 LinhToan

LinhToan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 269 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:TOÁN HỌC

Đã gửi 11-03-2017 - 19:40

1. Ta có $\sum \frac{1}{ab+2c^{2}+2c}= \sum \frac{1}{(2c+b)(2c+a)}$ (do a+b+c=1)

Áp dụng bđt AM-GM ta có $\frac{1}{(2c+b)(2c+a)}= \frac{ab}{(2bc+ab)(2ac+ab)}\geq \frac{ab}{(ab+bc+ca)^{2}}$

CM 3 bđt tương tự rồi cộng lại ta đc đpcm

Dấu = xảy ra <=> $a= b= c= \frac{1}{3}$

cảm ơn ạ!!! sao bạn nghĩ ra hay vậy???


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LinhToan: 11-03-2017 - 19:44






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh