Chủ đề này có 4 trả lời

[LinhToan]

1. a,.b.,c dương thỏa mãn a+b+c=1.

CMR: $\frac{1}{ab+2c^{2}+2c}+\frac{1}{bc+2a^{2}+2a}+\frac{1}{ca+2b^{2}+2b}\geq \frac{1}{ab+bc+ac}$

2. a,b,c dương.

CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 2abc+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$

3. a,b,c dương thỏa mãn : a+b+c=3.

CMR: $\frac{a^{2}+bc}{b+ca}+\frac{b^{2}+ca}{c+ab}+\frac{c^{2}+a}{a+bc}\geq 3$

[quangtohe]

3.Đặt A=$\sum \frac{a^{2}+bc}{b+ca}$

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có : $3b+3ac= (a+b+c)b+3ac\leq \sum a^{2}+\sum ab$

Suy ra: $\frac{a^{2}+bc}{a+bc}\geq \frac{3a^{2}+3bc}{\sum a^{2}+\sum ab}$

Thiết lập 3 BĐT tương tự rồi cộng lại ta đc đpcm

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chi khi a=b=c=1

[NHoang1608]

2) BĐT đã cho tương đương với: 

    $(a^{3}+b^{3}+c^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 2abc( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) + a^{2}+b^{2}+c^{2}$

    $\Leftrightarrow (a^{3}+b^{3}+c^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 2(ab+bc+ca)+a^{2}+b^{2}+c^{2}$

    $\Leftrightarrow (a^{3}+b^{3}+c^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq (a+b+c)^{2}$

Mặt khác áp dụng bđt Cauchy-Schwarzt thì ta có $(a^{3}+b^{3}+c^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq (a+b+c)^{2}$

Từ đây suy ra ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.

[quangtohe]

1. Ta có $\sum \frac{1}{ab+2c^{2}+2c}= \sum \frac{1}{(2c+b)(2c+a)}$ (do a+b+c=1)

Áp dụng bđt AM-GM ta có $\frac{1}{(2c+b)(2c+a)}= \frac{ab}{(2bc+ab)(2ac+ab)}\geq \frac{ab}{(ab+bc+ca)^{2}}$

CM 3 bđt tương tự rồi cộng lại ta đc đpcm

Dấu = xảy ra <=> $a= b= c= \frac{1}{3}$

[LinhToan]

1. Ta có $\sum \frac{1}{ab+2c^{2}+2c}= \sum \frac{1}{(2c+b)(2c+a)}$ (do a+b+c=1)

Áp dụng bđt AM-GM ta có $\frac{1}{(2c+b)(2c+a)}= \frac{ab}{(2bc+ab)(2ac+ab)}\geq \frac{ab}{(ab+bc+ca)^{2}}$

CM 3 bđt tương tự rồi cộng lại ta đc đpcm

Dấu = xảy ra <=> $a= b= c= \frac{1}{3}$

cảm ơn ạ!!! sao bạn nghĩ ra hay vậy???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LinhToan: 11-03-2017 - 19:44