Chủ đề này có 5 trả lời

[Samsung White]

Cho $a,b$ là các số thực bất kì
Tìm Max $\frac{(a+b)^2+1}{(a^2+1)(b^2+1)}$

[sharker]

$A = \frac{{{{(a + b)}^2}}}{{({a^2} + 1)({b^2} + 1)+1}}\\$

 $\to \frac{4}{3} - A = \frac{{{a^2} + {b^2} + 4{a^2}{b^2} - 6ab + 1}}{{3({a^2} + 1)({b^2} + 1)}} \ge 0\\$

 $\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 4{a^2}{b^2} - 6ab + 1 \ge 0\\$

 $  {a^2}(1 + 4{b^2}) - 6ab + {b^2} + 1 \ge 0\\$

${\Delta _a} =  - 4{(2{b^2} - 1)^2} \le 0\\$

 \ Đúng theo đinh lý về dấu của tam thức bậc 2

Vậy $\rightarrow A\leq \frac{4}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sharker: 23-06-2017 - 13:22

[Drago]

 

$A = \frac{{{{(a + b)}^2}}}{{({a^2} + 1)({b^2} + 1)}}\\$

 $\to \frac{4}{3} - A = \frac{{{a^2} + {b^2} + 4{a^2}{b^2} - 6ab + 1}}{{3({a^2} + 1)({b^2} + 1)}} \ge 0\\$

 $\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 4{a^2}{b^2} - 6ab + 1 \ge 0\\$

 $  {a^2}(1 + 4{b^2}) - 6ab + {b^2} + 1 \ge 0\\$

${\Delta _a} =  - 4{(2{b^2} - 1)^2} \le 0\\$

 \ Đúng theo đinh lý về dấu của tam thức bậc 2

Vậy $\rightarrow A\leq \frac{4}{3}$

 

Nhưng $\frac{4}{3}$ ở đâu ra?

[Hoang Dinh Nhat]

Nhưng $\frac{4}{3}$ ở đâu ra?

 

Bạn Sharker đi chứng minh $\frac{4}{3}-A\geq 0$ thì $A\leq \frac{4}{3}$

[Duy Thai2002]

Nhưng làm sao biết Max= $\frac{4}{3}$

[sharker]

Vì a,b vai trò như nhau mình thử cho $a=b$ $\to A = \frac{{4{a^2} + 1}}{{{{({a^2} + 1)}^2}}}$

$\to A' = \frac{{4a(1 - 2{a^2})}}{{{{({a^2} + 1)}^3}}}$

$\to A\max  = A(\frac{1}{{\sqrt 2 }}) = \frac{4}{3}$ và may mắn đó cũng chính là điểm rơi bài toán

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sharker: 23-06-2017 - 13:33