Chủ đề này có 2 trả lời

[mytran00]

Tính $A=1.2^{2}+2.3^{2}+...+n(n+1)^{2}$

[chanhquocnghiem]

Tính $A=1.2^{2}+2.3^{2}+...+n(n+1)^{2}$

Để giải nhanh bài này, trước hết phải biết 2 đẳng thức sau (nếu chưa biết thì hãy tự chứng minh, xem như các bài tập nhỏ) :

$1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$

(Tham khảo thêm tại : https://diendantoanh...s-13-23-33-n3/)

Từ đó suy ra :

$B=1^2+2^2+3^2+...+(n+1)^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$

$C=1^3+2^3+3^3+...+(n+1)^3=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$

Và dễ nhận thấy rằng :

$A+B=C$

$\Rightarrow A=C-B=\frac{3(n+1)^2(n+2)^2-2(n+1)(n+2)(2n+3)}{12}=\frac{n(n+1)(n+2)(3n+5)}{12}$.

[hxthanh]

Tính $A=1.2^{2}+2.3^{2}+...+n(n+1)^{2}$

Biến đổi một chút ta có:
$n(n+1)^2=n(n+1)(n+2-1)=n(n+1)(n+2)-n(n+1)$
$=n(n+1)(n+2)\dfrac{n+3-(n-1)}{4}-n(n+1)\dfrac{n+2-(n-1)}{3}$
$=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}-\frac{(n-1)n(n+1)(n+2)}{4}-\frac{n(n+1)(n+2)}{3}+\frac{(n-1)n(n+1)}{3}$
Như vậy tổng phải tính là
$A=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}-\frac{n(n+1)(n+2)}{3}=n(n+1)(n+2)\left(\frac{n+3}{4}-\frac{1}{3}\right)$

$=\frac{n(n+1)(n+2)(3n+5)}{12}$