Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 21ab + 2bc + 8ac ≤ 12
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1/a + 2/b + 3/c
Cho a, b, c > 0 và 21ab + 2bc + 8ac ≤ 12. GTNN của A = 1/a + 2/b + 3/c
#1
Đã gửi 10-03-2017 - 11:23
#2
Đã gửi 10-03-2017 - 11:58
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 21ab + 2bc + 8ac ≤ 12
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{c}{3}$
Điểm rơi của bài toán: $a=\frac{1}{3}; b=\frac{4}{5};c=\frac{3}{2}$
Do đó nên:
Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{3x}\\ b=\frac{4}{5y}\\ c=\frac{3}{2z} \end{matrix}\right.$
Ta có $21ab+2bc+8ac\leq 12\Rightarrow 21.\frac{1}{3x}.\frac{4}{5y}+2.\frac{4}{5y}.\frac{3}{2z}+8\frac{3}{2z}.\frac{1}{3x}\leq 12\Rightarrow 3x+5y+7z\leq 15xyz$
Áp dụng BĐT AM - GM ta có: $3x+5y+7z=x+x+x+y+y+y+y+y+z+z+z+z+z+z+z\geq 15\sqrt[15]{x^3y^5z^7}\Rightarrow 15xyz\geq 15\sqrt[15]{x^3y^5z^7}\Rightarrow x^6y^5z^4\geq 1$
Do đó: $P=\frac{1}{\frac{1}{3x}}+\frac{2}{\frac{4}{5y}}+\frac{3}{\frac{3}{2z}}=\frac{1}{2}(6x+5y+4z)=\frac{1}{2}(x+x+x+x+x+x+y+y+y+y+y+z+z+z+z)\geq \frac{1}{2}\sqrt[15]{x^6y^5z^4}\geq \frac{15}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi; $x=y=z=1\Rightarrow a=\frac{1}{3};b=\frac{4}{5}; c=\frac{3}{2}$
- NHoang1608 yêu thích
#3
Đã gửi 10-03-2017 - 17:58
Làm sao để tìm được điểm rơi của bài toán: a=1/3; b=4/5;c=3/2 vậy bạn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baybay1: 10-03-2017 - 17:59
#5
Đã gửi 10-03-2017 - 18:47
Làm sao để tìm được điểm rơi của bài toán: a=1/3; b=4/5;c=3/2 vậy bạn
Cái này lên cấp 3 dùng đạo hàm bạn ơi
#6
Đã gửi 10-03-2017 - 19:54
Cái này lên cấp 3 dùng đạo hàm bạn ơi
vãi. có 2 đứa học truoc dao hàm da pk.
#7
Đã gửi 10-03-2017 - 22:46
Làm sao để tìm được điểm rơi của bài toán: a=1/3; b=4/5;c=3/2 vậy bạn
Để tìm ra điểm rơi này người ta phải dùng đến phương pháp nhân tử Lagrange, là công cụ không sơ cấp chút nào. Cho nên bài này dù có thể giải bằng AM-GM, nhưng rất không nên ra cho học sinh THCS.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IMO20xx: 10-03-2017 - 22:47
#8
Đã gửi 10-03-2017 - 23:04
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 21ab + 2bc + 8ac ≤ 12
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1/a + 2/b + 3/c
Đặt $$\displaystyle P = (21ab + 2bc + 8ca)\left(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c}\right)^2 - 12\left(\frac{15}{2}\right)^2.$$
Ta cần chứng minh $ P \geqslant 0.$ Thật vậy
$$ \displaystyle P = \frac{(11c+513a)(12a-5b)^2}{300a^2b} + \frac{(336ab+217bc+200ca)(15b-8c)^2}{400b^2c^2} + \frac{(1224a+65b)(2c-9a)^2}{240ca^2}.$$
Dễ thấy biểu thức này không âm và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $36a = 15b = 8c.$ Bài toán được chứng minh.
- HoangKhanh2002, hoangquochung3042002 và viet9a14124869 thích
Ho Chi Minh City University Of Transport
#9
Đã gửi 10-03-2017 - 23:17
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 10-03-2017 - 23:18
#10
Đã gửi 11-03-2017 - 12:31
Để tìm ra điểm rơi này người ta phải dùng đến phương pháp nhân tử Lagrange, là công cụ không sơ cấp chút nào. Cho nên bài này dù có thể giải bằng AM-GM, nhưng rất không nên ra cho học sinh THCS.
Anh có thể khái quát phương pháp nhân tử Lagrange dạng đơn thuần nhất cho em được không ,,,có thể sẽ hữu ích ạ !!! @@@
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
#11
Đã gửi 12-03-2017 - 08:21
Anh có thể khái quát phương pháp nhân tử Lagrange dạng đơn thuần nhất cho em được không ,,,có thể sẽ hữu ích ạ !!! @@@
Thế em đã học đạo hàm chưa? Chưa học đạo hàm không thể học được cái này.
#12
Đã gửi 12-03-2017 - 12:31
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh