Chủ đề này có 11 trả lời

[baybay1]

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 21ab + 2bc + 8ac ≤ 12
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1/a + 2/b + 3/c

[HoangKhanh2002]

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 21ab + 2bc + 8ac ≤ 12
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{c}{3}$

Điểm rơi của bài toán: $a=\frac{1}{3}; b=\frac{4}{5};c=\frac{3}{2}$

Do đó nên:

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{3x}\\ b=\frac{4}{5y}\\ c=\frac{3}{2z} \end{matrix}\right.$

Ta có $21ab+2bc+8ac\leq 12\Rightarrow 21.\frac{1}{3x}.\frac{4}{5y}+2.\frac{4}{5y}.\frac{3}{2z}+8\frac{3}{2z}.\frac{1}{3x}\leq 12\Rightarrow 3x+5y+7z\leq 15xyz$

Áp dụng BĐT AM - GM ta có: $3x+5y+7z=x+x+x+y+y+y+y+y+z+z+z+z+z+z+z\geq 15\sqrt[15]{x^3y^5z^7}\Rightarrow 15xyz\geq 15\sqrt[15]{x^3y^5z^7}\Rightarrow x^6y^5z^4\geq 1$

Do đó: $P=\frac{1}{\frac{1}{3x}}+\frac{2}{\frac{4}{5y}}+\frac{3}{\frac{3}{2z}}=\frac{1}{2}(6x+5y+4z)=\frac{1}{2}(x+x+x+x+x+x+y+y+y+y+y+z+z+z+z)\geq \frac{1}{2}\sqrt[15]{x^6y^5z^4}\geq \frac{15}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi; $x=y=z=1\Rightarrow a=\frac{1}{3};b=\frac{4}{5}; c=\frac{3}{2}$

[baybay1]

Làm sao để tìm được điểm rơi của bài toán: a=1/3; b=4/5;c=3/2 vậy bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baybay1: 10-03-2017 - 17:59

[Ngoc Hung]

Xem lời giải ở ĐÂY

[HoangKhanh2002]

Làm sao để tìm được điểm rơi của bài toán: a=1/3; b=4/5;c=3/2 vậy bạn

Cái này lên cấp 3 dùng đạo hàm bạn ơi

[hoangquochung3042002]

Cái này lên cấp 3 dùng đạo hàm bạn ơi

vãi. có 2 đứa học truoc dao hàm da pk. 

[IMO20xx]

Làm sao để tìm được điểm rơi của bài toán: a=1/3; b=4/5;c=3/2 vậy bạn

Để tìm ra điểm rơi này người ta phải dùng đến phương pháp nhân tử Lagrange, là công cụ không sơ cấp chút nào. Cho nên bài này dù có thể giải bằng AM-GM, nhưng rất không nên ra cho học sinh THCS.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IMO20xx: 10-03-2017 - 22:47

[Nguyenhuyen_AG]

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 21ab + 2bc + 8ac ≤ 12
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1/a + 2/b + 3/c

 

Đặt $$\displaystyle P = (21ab + 2bc + 8ca)\left(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c}\right)^2 - 12\left(\frac{15}{2}\right)^2.$$

Ta cần chứng minh $ P \geqslant 0.$ Thật vậy

$$ \displaystyle P = \frac{(11c+513a)(12a-5b)^2}{300a^2b} + \frac{(336ab+217bc+200ca)(15b-8c)^2}{400b^2c^2} + \frac{(1224a+65b)(2c-9a)^2}{240ca^2}.$$

Dễ thấy biểu thức này không âm và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $36a = 15b = 8c.$ Bài toán được chứng minh.

[Mr Cooper]

Đặt $(a;b;c)\rightarrow \left ( \dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z} \right )$

Theo giả thiết $\Rightarrow 2x+8y+21z\leq 12xyz$

$\Leftrightarrow 3z\geq \dfrac{2x+8y}{4xy-7}$

$\Rightarrow A\geq x+2y+\dfrac{2x+8y}{4xy-7}=x+\dfrac{11}{2x}+\dfrac{1}{2x}\left [ (4xy-7)+\dfrac{4x^{2}+28}{4xy-7} \right ]\geq x+\dfrac{11}{2x}+\dfrac{1}{x}\sqrt{4x^{2}+28}$

$=x+\dfrac{11}{2x}+\dfrac{3}{2}\sqrt{\left ( 1+\dfrac{7}{9} \right )\left ( 1+\dfrac{7}{x^{2}} \right )}\geq x+\dfrac{11}{2x}+\dfrac{3}{2}\left ( 1+\dfrac{7}{3x} \right )=x+\dfrac{9}{x}+\dfrac{3}{2}\geq 2\sqrt{9}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{15}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi: $\Leftrightarrow x=3,y=\dfrac{5}{4},z=\dfrac{2}{3}\Rightarrow a=\dfrac{1}{3},b=\dfrac{4}{5},c=\dfrac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 10-03-2017 - 23:18

[viet9a14124869]

Để tìm ra điểm rơi này người ta phải dùng đến phương pháp nhân tử Lagrange, là công cụ không sơ cấp chút nào. Cho nên bài này dù có thể giải bằng AM-GM, nhưng rất không nên ra cho học sinh THCS.

Anh có thể khái quát phương pháp nhân tử Lagrange dạng đơn thuần nhất cho em được không ,,,có thể sẽ hữu ích ạ !!!   @@@ 

[IMO20xx]

Anh có thể khái quát phương pháp nhân tử Lagrange dạng đơn thuần nhất cho em được không ,,,có thể sẽ hữu ích ạ !!!   @@@ 

Thế em đã học đạo hàm chưa? Chưa học đạo hàm không thể học được cái này.

[baybay1]

Có gì đâu, đạo hàm có công thức