Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho a, b, c > 0 và 21ab + 2bc + 8ac ≤ 12. GTNN của A = 1/a + 2/b + 3/c


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1 baybay1

baybay1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết

Đã gửi 10-03-2017 - 11:23

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 21ab + 2bc + 8ac ≤ 12
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1/a + 2/b + 3/c



#2 HoangKhanh2002

HoangKhanh2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 483 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{A1-K52 THPT Đức Thọ}$ $\textrm{Hà Tĩnh}$
  • Sở thích:$\boxed{\boxed{{\color{green}\rightarrow}\boxed{\color{red}\bigstar}\boxed{\bf \mathfrak{{{\color{blue}{๖ۣۜMaths}}}}}\boxed{\color{red}\bigstar}{\color{green}\leftarrow }}}$

Đã gửi 10-03-2017 - 11:58

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 21ab + 2bc + 8ac ≤ 12
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$A=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{c}{3}$

Điểm rơi của bài toán: $a=\frac{1}{3}; b=\frac{4}{5};c=\frac{3}{2}$

Do đó nên:

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{3x}\\ b=\frac{4}{5y}\\ c=\frac{3}{2z} \end{matrix}\right.$

Ta có $21ab+2bc+8ac\leq 12\Rightarrow 21.\frac{1}{3x}.\frac{4}{5y}+2.\frac{4}{5y}.\frac{3}{2z}+8\frac{3}{2z}.\frac{1}{3x}\leq 12\Rightarrow 3x+5y+7z\leq 15xyz$

Áp dụng BĐT AM - GM ta có: $3x+5y+7z=x+x+x+y+y+y+y+y+z+z+z+z+z+z+z\geq 15\sqrt[15]{x^3y^5z^7}\Rightarrow 15xyz\geq 15\sqrt[15]{x^3y^5z^7}\Rightarrow x^6y^5z^4\geq 1$

Do đó: $P=\frac{1}{\frac{1}{3x}}+\frac{2}{\frac{4}{5y}}+\frac{3}{\frac{3}{2z}}=\frac{1}{2}(6x+5y+4z)=\frac{1}{2}(x+x+x+x+x+x+y+y+y+y+y+z+z+z+z)\geq \frac{1}{2}\sqrt[15]{x^6y^5z^4}\geq \frac{15}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi; $x=y=z=1\Rightarrow a=\frac{1}{3};b=\frac{4}{5}; c=\frac{3}{2}$



#3 baybay1

baybay1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết

Đã gửi 10-03-2017 - 17:58

Làm sao để tìm được điểm rơi của bài toán: a=1/3; b=4/5;c=3/2 vậy bạn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baybay1: 10-03-2017 - 17:59


#4 Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1541 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đức Thọ - Hà Tĩnh
  • Sở thích:Toán học và thơ

Đã gửi 10-03-2017 - 18:14

Xem lời giải ở ĐÂY



#5 HoangKhanh2002

HoangKhanh2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 483 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{A1-K52 THPT Đức Thọ}$ $\textrm{Hà Tĩnh}$
  • Sở thích:$\boxed{\boxed{{\color{green}\rightarrow}\boxed{\color{red}\bigstar}\boxed{\bf \mathfrak{{{\color{blue}{๖ۣۜMaths}}}}}\boxed{\color{red}\bigstar}{\color{green}\leftarrow }}}$

Đã gửi 10-03-2017 - 18:47

Làm sao để tìm được điểm rơi của bài toán: a=1/3; b=4/5;c=3/2 vậy bạn

Cái này lên cấp 3 dùng đạo hàm bạn ơi



#6 hoangquochung3042002

hoangquochung3042002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 190 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đắk Lắk
  • Sở thích:MATH.

Đã gửi 10-03-2017 - 19:54

Cái này lên cấp 3 dùng đạo hàm bạn ơi

vãi. có 2 đứa học truoc dao hàm da pk. 



#7 IMO20xx

IMO20xx

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết

Đã gửi 10-03-2017 - 22:46

Làm sao để tìm được điểm rơi của bài toán: a=1/3; b=4/5;c=3/2 vậy bạn

Để tìm ra điểm rơi này người ta phải dùng đến phương pháp nhân tử Lagrange, là công cụ không sơ cấp chút nào. Cho nên bài này dù có thể giải bằng AM-GM, nhưng rất không nên ra cho học sinh THCS.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IMO20xx: 10-03-2017 - 22:47


#8 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-03-2017 - 23:04

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 21ab + 2bc + 8ac ≤ 12
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1/a + 2/b + 3/c

 

Đặt $$\displaystyle P = (21ab + 2bc + 8ca)\left(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c}\right)^2 - 12\left(\frac{15}{2}\right)^2.$$

Ta cần chứng minh $ P \geqslant 0.$ Thật vậy

$$ \displaystyle P = \frac{(11c+513a)(12a-5b)^2}{300a^2b} + \frac{(336ab+217bc+200ca)(15b-8c)^2}{400b^2c^2} + \frac{(1224a+65b)(2c-9a)^2}{240ca^2}.$$

Dễ thấy biểu thức này không âm và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $36a = 15b = 8c.$ Bài toán được chứng minh.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#9 Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Miền cắt trắng
  • Sở thích:$\mathbb{Geometry}$

Đã gửi 10-03-2017 - 23:17

Đặt $(a;b;c)\rightarrow \left ( \dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z} \right )$
Theo giả thiết $\Rightarrow 2x+8y+21z\leq 12xyz$
$\Leftrightarrow 3z\geq \dfrac{2x+8y}{4xy-7}$
$\Rightarrow A\geq x+2y+\dfrac{2x+8y}{4xy-7}=x+\dfrac{11}{2x}+\dfrac{1}{2x}\left [ (4xy-7)+\dfrac{4x^{2}+28}{4xy-7} \right ]\geq x+\dfrac{11}{2x}+\dfrac{1}{x}\sqrt{4x^{2}+28}$
$=x+\dfrac{11}{2x}+\dfrac{3}{2}\sqrt{\left ( 1+\dfrac{7}{9} \right )\left ( 1+\dfrac{7}{x^{2}} \right )}\geq x+\dfrac{11}{2x}+\dfrac{3}{2}\left ( 1+\dfrac{7}{3x} \right )=x+\dfrac{9}{x}+\dfrac{3}{2}\geq 2\sqrt{9}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{15}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi: $\Leftrightarrow x=3,y=\dfrac{5}{4},z=\dfrac{2}{3}\Rightarrow a=\dfrac{1}{3},b=\dfrac{4}{5},c=\dfrac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 10-03-2017 - 23:18


#10 viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:~NGT~

Đã gửi 11-03-2017 - 12:31

Để tìm ra điểm rơi này người ta phải dùng đến phương pháp nhân tử Lagrange, là công cụ không sơ cấp chút nào. Cho nên bài này dù có thể giải bằng AM-GM, nhưng rất không nên ra cho học sinh THCS.

Anh có thể khái quát phương pháp nhân tử Lagrange dạng đơn thuần nhất cho em được không ,,,có thể sẽ hữu ích ạ !!!   @@@ 


                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#11 IMO20xx

IMO20xx

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết

Đã gửi 12-03-2017 - 08:21

Anh có thể khái quát phương pháp nhân tử Lagrange dạng đơn thuần nhất cho em được không ,,,có thể sẽ hữu ích ạ !!!   @@@ 

Thế em đã học đạo hàm chưa? Chưa học đạo hàm không thể học được cái này.



#12 baybay1

baybay1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết

Đã gửi 12-03-2017 - 12:31

Có gì đâu, đạo hàm có công thức




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh