Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm 2016-2017
Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm 2016-2017
#1
Posted 11-03-2017 - 21:30
#2
Posted 11-03-2017 - 22:18
bài 2
với x ; y # 0
hệ ptr tương đương
$\left\{\begin{matrix} 1+\frac{1}{x+y}=\frac{3}{2\sqrt{x}} & \\ & \end{matrix}1-\tfrac{1}{x-y}=\frac{1}{2\sqrt{y}}\right.$
sau đó cộng và trừ 2 phương trình cho nhau
được 2 phương trình mới thì nhân lại với nhau sẽ tạo về ptr tích thế là ok
- trambau and IrisMorgenster like this
Lê Đình Văn LHP
#4
Posted 12-03-2017 - 09:49
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
THANH HÓA NĂM HỌC 2016-2017
Ngày thi: 11/3/2017. Thời gian:150 phút
Câu 1: (4,0 điểm)
1. Cho biểu thức $P=(1+\frac{4}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{x-1}) : (\frac{x+2\sqrt{x}}{x-1})$ với $x>0;x\neq1$. Rút gọn biểu thức $P$
2. Cho biểu thức $F(x)=\sqrt{x^{8}+12x+12}-3x$. Gọi $x_{0}$ là 1 nghiệm của phương trình $x^{2}-x-1=0$. Tính giá trị của $F(x_{0})$
Câu 2: (4,0 điểm)
1. Cho phương trình $mx^{2}+x+m-1=0$. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $\left | \frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}} \right |>1$.
2. Giải hệ phương trình $\begin{cases} & 2\sqrt{x}\left ( 1+\frac{1}{x+y} \right )=3 \\ & 2\sqrt{y}\left ( 1-\frac{1}{x+y} \right )=1 \end{cases}$.
Câu 3: (4,0 điểm)
1.Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^{2}(y-5)-xy=x-y+1$.
2.Tìm các số tự nhiên $x, y, z$ đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau: $x^{3}+y^{3}=2z^{3}$ và $x+y+z$ là số nguyên tố.
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho $\widehat{ABx}$ cố định, trên tia $Bx$ lấy điểm $C$ sao cho $AB<AC, AB<BC$. Đường tròn tâm $O$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $AB, BC, AC$ lần lượt tại $I, J, K$ . Tia $BO$ cắt các đường thẳng $JK$ , $AC$ lần lượt tại $M$ và $D$ .
1. Chứng minh rằng$\widehat{AOB}=90^{\circ} +\frac{1}{2}\widehat{ACB}$ và năm điểm $A, I, O, M, K$ cùng nằm trên 1 đường tròn.
2. Chứng minh $DK.BM=DM.BJ$ và đường thẳng $JK$ luôn đi qua 1 điểm cố định khi điểm $C$ di động trên tia $Bx$ thỏa mãn giả thiết.
3. Gọi $P$ là giao điểm của đường thẳng $KI$ và đường thẳng $BC$, đường thẳng $AJ$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $N$. Chứng minh rằng $PN$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.
Câu 5: (2,0 điểm)
Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=\frac{(a+b+c)^{2}}{30(a^{2}+b^{2}+c^{2})}+\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{4abc}-\frac{131(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{60(ab+bc+ca)}.$
---------Hết--------
P/s: lần đầu đánh đề có gì sai mong mọi người bỏ qua
Edited by NHoang1608, 12-03-2017 - 11:44.
- namcpnh, PlanBbyFESN, linhtrang1602 and 3 others like this
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
#5
Posted 12-03-2017 - 20:24
Câu 5: (2,0 điểm)
Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=\frac{(a+b+c)^{2}}{30(a^{2}+b^{2}+c^{2})}+\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{4abc}-\frac{131(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{60(ab+bc+ca)}.$
Ta có:$\frac{a^{3}+b^3+c^3}{4abc}-\frac{3}{4}=\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)}{4abc}
\geq \frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)}{\frac{4}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)}
=\frac{9(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)}{4(ab+bc+ac)}$
Đặt $x=a^2+b^2+c^2;y=ab+bc+ac$
Ta có:$\geq \frac{x+2y}{30x}+\frac{9(x-y)}{4y}-\frac{131x}{60y}+3/4
$=\frac{1}{30}+\frac{y}{15x}+\frac{9x}{4y}-\frac{9}{4}-\frac{131x}{60y}$+3/4
$=\frac{x}{15y}+\frac{y}{15x}-\frac{22}{15}$
$\geq \frac{2}{15}-\frac{22}{15}=\frac{-4}{3}$
Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c$
- VOHUNGTUAN, NMD202 and NHoang1608 like this
#6
Posted 12-03-2017 - 20:25
bài 2
với x ; y # 0
hệ ptr tương đương
$\left\{\begin{matrix} 1+\frac{1}{x+y}=\frac{3}{2\sqrt{x}} & \\ & \end{matrix}1-\tfrac{1}{x-y}=\frac{1}{2\sqrt{y}}\right.$
sau đó cộng và trừ 2 phương trình cho nhau
được 2 phương trình mới thì nhân lại với nhau sẽ tạo về ptr tích thế là ok
Cụ thể hơn được ko
#7
Posted 12-03-2017 - 21:02
Với$x=0\Rightarrow y^3=2z^3\Rightarrow y=z=0\Rightarrow x+y+z=0$không phải số nguyên tố(Loại)
Tương tự ta cũng loại với y=0
Nên$x;y\geq 1\Rightarrow z\geq 1$
Đặt p=x+y+z là số nguyên tố
Ta có:$x^3+y^3=2z^3$
$\Leftrightarrow (p-z)(x^2+y^2-xy)=2z^3$
Mà$(p-z,z^3)=1$$\Rightarrow x^2+y^2-xy= z^{3}k(k\epsilon \mathbb{N}*)$
$\Rightarrow (x+y)k=2$
$x=y=k=1$
$\Rightarrow z=1\Rightarrow p=3$(Thỏa mãn)
Vậy(x;y;z)=(1;1;1)
#8
Posted 12-03-2017 - 22:50
Câu 3: (4,0 điểm)
1.Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^{2}(y-5)-xy=x-y+1$.
Ta có: $x^{2}(y-5)-xy=x-y+1\Leftrightarrow x^{2}(y-5)-x(y+1)+y-1=0$
$\Delta =(y+1)^2-4(y-1)(y-5)=-3y^2+26y-19 \geq 0\Leftrightarrow \frac{13-4\sqrt{7}}{3}\leq y \leq \frac{13+4\sqrt{7}}{3}$
y nguyên...
Edited by HoangKhanh2002, 12-03-2017 - 22:52.
- HoangTienDung1999 and ToanTHPTHT like this
#9
Posted 13-03-2017 - 13:18
#10
Posted 16-03-2017 - 20:36
Lời giải của thầy Nguyễn Việt Hùng - Giáo viên trường THPT Chuyên KHTN-ĐHQGHN.
#11
Posted 02-04-2017 - 18:03
Đề năm nay nhẹ hơn đề năm ngoái chút chút :
[Dương Tuệ Linh ]
[Linh]
#12
Posted 05-05-2017 - 11:04
Giải bài hình câu cuối sai rồi bạn nhé: O, Q, P chưa thẳng hàng
#13
Posted 05-05-2017 - 17:03
Ta có:$\frac{a^{3}+b^3+c^3}{4abc}-\frac{3}{4}=\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)}{4abc}
\geq \frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)}{\frac{4}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)}
=\frac{9(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)}{4(ab+bc+ac)}$
Đặt $x=a^2+b^2+c^2;y=ab+bc+ac$
Ta có:$\geq \frac{x+2y}{30x}+\frac{9(x-y)}{4y}-\frac{131x}{60y}+3/4
$=\frac{1}{30}+\frac{y}{15x}+\frac{9x}{4y}-\frac{9}{4}-\frac{131x}{60y}$+3/4
$=\frac{x}{15y}+\frac{y}{15x}-\frac{22}{15}$
$\geq \frac{2}{15}-\frac{22}{15}=\frac{-4}{3}$
Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c$
Ta có:
\[\frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{30\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} + \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{4abc}} - \frac{{131\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{60\left( {ab + bc + ca} \right)}} = \sum\limits_{cyc} {{{\left( {a - b} \right)}^4}\left( {\frac{{a + b + 3c}}{{540abc\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} + \frac{{131}}{{1080ab\left( {ab + bc + ca} \right)}}} \right)} - \frac{4}{3} \ge - \frac{4}{3}\]
Vậy min=-4/3
$$\boxed{\boxed{I\heartsuit MATHEMATICAL}}$$
Sức hấp dẫn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao nhãng các môn học khác - Sofia Vasilyevna Kovalevskaya
#14
Posted 09-05-2017 - 21:08
Các bạn thử giải lại bài hình câu cuối đi
#15
Posted 10-05-2017 - 11:11
Giải bài hình câu cuối sai rồi bạn nhé: O, Q, P chưa thẳng hàng
Các bạn thử giải lại bài hình câu cuối đi
Không cần thẳng hàng đâu. Mình xin trình bày lại để bạn rõ
Gọi $Q$ là giao điểm của $(AIOK)$ và $OP$; $H$ là giao điểm của $OA$ và $IP$ $\Rightarrow \widehat{AQO}=90^o$. Mà $\widehat{OHP}=90^o\Rightarrow AHQP$ nội tiếp $\Rightarrow OQ.OP=OH.OA=OI^2=ON^2\Rightarrow \frac{OQ}{ON}=\frac{ON}{OP}\Rightarrow \Delta ONQ \sim \Delta OPN(g.g)\Rightarrow \widehat{PNO}=\widehat{NQO}=90^o\Rightarrow Q.E.D$
#16
Posted 12-05-2017 - 22:03
Ta có: $x^{2}(y-5)-xy=x-y+1\Leftrightarrow x^{2}(y-5)-x(y+1)+y-1=0$
$\Delta =(y+1)^2-4(y-1)(y-5)=-3y^2+26y-19 \geq 0\Leftrightarrow \frac{13-4\sqrt{7}}{3}\leq y \leq \frac{13+4\sqrt{7}}{3}$
y nguyên...
Bạn chưa xét TH hệ số a=0
TH1: y-5=0
TH2: $y-5\neq 0$
Edited by THAN DONG TOAN HOC LDK, 12-05-2017 - 22:50.
#17
Posted 12-05-2017 - 22:23
Đề này mình làm hôm đó được 15 điểm thôi, nhưng cũng cao nhất Tp Thanh Hóa
#18
Posted 12-05-2017 - 22:41
Giải bài hình câu cuối sai rồi bạn nhé: O, Q, P chưa thẳng hàng
Câu 2.1 bạn giải thiếu rồi
Kết quả phải là
$$0\leq m\leq \frac{6}{5}, m\neq 1$$
Không tin bạn làm lại xem
Edited by THAN DONG TOAN HOC LDK, 12-05-2017 - 22:53.
#19
Posted 13-05-2017 - 17:13
câu hình b hình như sai rồi, C di động thì BD di động nên M di động
#20
Posted 17-05-2017 - 10:37
Không cần thẳng hàng đâu. Mình xin trình bày lại để bạn rõ
Gọi $Q$ là giao điểm của $(AIOK)$ và $OP$; $H$ là giao điểm của $OA$ và $IP$ $\Rightarrow \widehat{AQO}=90^o$. Mà $\widehat{OHP}=90^o\Rightarrow AHQP$ nội tiếp $\Rightarrow OQ.OP=OH.OA=OI^2=ON^2\Rightarrow \frac{OQ}{ON}=\frac{ON}{OP}\Rightarrow \Delta ONQ \sim \Delta OPN(g.g)\Rightarrow \widehat{PNO}=\widehat{NQO}=90^o\Rightarrow Q.E.D$
Theo cach nay thì góc NQO chưa chắc bằng 90 độ
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users