Đến nội dung

Hình ảnh

$f(x)=8x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

- - - - - đa thức 2017 inex

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
ineX

ineX

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 353 Bài viết

Cho đa thức $f(x)=8x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ thỏa mãn $\left | f(x) \right |\leq 1$ với $\left | x \right |\leq 1$ 

Tìm $a,b,c,d$.


"Tôi sinh ra là để thay đổi thế giới chứ không phải để thế giới thay đổi tôi" - Juliel

 

3cf67218ea144a6eb6caf571068071ff.1.gif


#2
blackwave

blackwave

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết

Cho $x$ lần lượt là $1,\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}},1$ thì ta có hệ phương trình sau: 

$\left\{\begin{matrix} \left | 8+a+b+c+d \right |\leq 1(1)\\ \left | 2+a\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{b}{2}+\frac{c}{\sqrt{2}}+d \right |\leq 1(2)\\ \left | 8-a+b-c+d \right |\leq 1(3)\\ \left | 2-a\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{b}{2}-\frac{c}{\sqrt{2}}+d \right |\leq 1(4)\\ \left | d \right |\leq 1(5) \end{matrix}\right.$

Áp dụng $\left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |$

               $\left | a-b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |$

Lấy $(2)+(4)$ ta được $\left | 4+b+2d \right |\leq 2$(6)

Lấy $(1)+(3)$ ta được $\left | 8+b+d \right |\leq 1$(7)

Lấy $(7)-(6)$ ta được $\left | 4-d \right |\leq 3$

Kết hợp với (5) ta được $4=\left | 4-d+d \right |\leq \left | 4-d \right |+\left | d \right |\leq 1+3=4$

do đó dấu = xảy ra khi $a=c=0 , b=-8 , d=1$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đa thức, 2017, inex

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh