Cho đa thức $f(x)=8x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ thỏa mãn $\left | f(x) \right |\leq 1$ với $\left | x \right |\leq 1$
Tìm $a,b,c,d$.
Cho đa thức $f(x)=8x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ thỏa mãn $\left | f(x) \right |\leq 1$ với $\left | x \right |\leq 1$
Tìm $a,b,c,d$.
Cho $x$ lần lượt là $1,\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}},1$ thì ta có hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix} \left | 8+a+b+c+d \right |\leq 1(1)\\ \left | 2+a\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{b}{2}+\frac{c}{\sqrt{2}}+d \right |\leq 1(2)\\ \left | 8-a+b-c+d \right |\leq 1(3)\\ \left | 2-a\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{b}{2}-\frac{c}{\sqrt{2}}+d \right |\leq 1(4)\\ \left | d \right |\leq 1(5) \end{matrix}\right.$
Áp dụng $\left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |$
$\left | a-b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |$
Lấy $(2)+(4)$ ta được $\left | 4+b+2d \right |\leq 2$(6)
Lấy $(1)+(3)$ ta được $\left | 8+b+d \right |\leq 1$(7)
Lấy $(7)-(6)$ ta được $\left | 4-d \right |\leq 3$
Kết hợp với (5) ta được $4=\left | 4-d+d \right |\leq \left | 4-d \right |+\left | d \right |\leq 1+3=4$
do đó dấu = xảy ra khi $a=c=0 , b=-8 , d=1$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh