Chủ đề này có 3 trả lời

[gemyncanary]

Cho a+b+c=abc

 Chứng minh: $\frac{1+\sqrt{1+a^{2}}}{a}+\frac{1+\sqrt{1+b^{2}}}{b}+\frac{1+\sqrt{1+c^{2}}}{c}\leq abc$

 

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gemyncanary: 12-03-2017 - 18:37

[NHoang1608]

Solution

Bằng biến đổi tương đương và sử dụng BĐT $AM-GM$ thì ta có:

  $4.VT= \frac{4+4\sqrt{1+a^{2}}}{a}+\frac{4+4\sqrt{1+b^{2}}}{b}+\frac{4+4\sqrt{1+c^{2}}}{c}\leq \frac{4+4+a^{2}+1}{a}+ \frac{4+4+c^{2}+1}{c}+ \frac{4+4+b^{2}+1}{b}$ $=\frac{9+a^{2}}{a}+\frac{9+b^{2}}{b}+\frac{9+c^{2}}{c}= \frac{9}{a}+\frac{9}{b}+\frac{9}{c}+a+b+c$. $(1)$

Mặt khác ta có $9(ab+bc+ca)\leq 3(a+b+c)^{2}= 3(abc)^{2}$ $\Rightarrow  \frac{9}{a}+\frac{9}{b}+\frac{9}{c} \leq 3abc$ $(2)$.

Từ $(1)$ và $(2)$ thì ta có $4.VT \leq 3abc+a+b+c=4abc\Leftrightarrow VT\leq abc$.

ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 12-03-2017 - 19:08

[NTMFlashNo1]

Cho a+b+c=abc

 Chứng minh: $\frac{1+\sqrt{1+a^{2}}}{a}+\frac{1+\sqrt{1+b^{2}}}{b}+\frac{1+\sqrt{1+c^{2}}}{c}\leq abc$

Cách khác:

 

Đề bài có thêm dữ kiện $a,b,c>0$ ta làm như sau:

Từ giả thiết có:$a+b+c=abc\Rightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$

Bất đẳng thức trên tương đương với:

$\sum \frac{1}{a}+\sum \sqrt{\frac{1+a^{2}}{a^{2}}}\leq abc$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a}+\sum \sqrt{\frac{1}{a^{2}}+1}\leq abc$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a}+\sum \sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}}\leq abc$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a}+\sum \sqrt{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})}\leq abc$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a}+\sum \frac{1}{2}\left ( \frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\leq abc$

$\Leftrightarrow 3\left ( \sum \frac{1}{a} \right )\leq abc$

$\Leftrightarrow 3\left ( ab+bc+ca \right )\leq \left ( abc \right )^{2}= \left ( a+b+c \right )^{2}$

(Đúng)

$\Rightarrow Q.E.D$

[KietLW9]

Tham khảo cách của mình tại đây nhé: $\frac{{1 + \sqrt {1 + {x^2}} }}{x} + \frac{{1 + \sqrt {1 + {y^2}} }}{y} + \frac{{1 + \sqrt {1 + {z^2}} }}{z} \le xyz$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học