TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
ĐỀ THI HSG LỚP 10
NĂM HỌC:2016-2017
NGÀY THI THỨ NHẤT
THỜI GIAN:180'
$\boxed{\text{Bài 1}}$ Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x^{2}+8} &=\sqrt{y}+y^{2}+1 \\
\sqrt{y^{2}+8} &=\sqrt{x}+x^{2}+1
\end{matrix}\right.$
$\boxed{\text{Bài 2}}$ Cho $a,b,c$thực thỏa mãn:
$a\geq b\geq c\geq 0$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
Tìm $P_{max}=2ab+5ac+8bc+\frac{15}{a+b+c}$
$\boxed{\text{Bài 3}}$
a) Cho $p$ nguyên tố thỏa mãn:$p\equiv 1\left ( mod4 \right )$.
Chứng minh:tồn tại $k$ nguyên sao cho $k^{2}\equiv -1\left ( modp \right )$.
b) Tìm $(a,b,c)$ nguyên sao cho với mọi $p$ nguyên tố lẻ thì:
$a\left ( (\frac{p-1}{2})! \right )^{2}+b\left ( \frac{p-1}{2} \right )!+c\vdots p$
$\boxed{\text{Bài 4}}$ Cho tam giác $ABC$ với $AB>AC$ nội tiếp $(O)$, ngoại tiếp $(I)$,$(I_{a}$ bàng tiếp đỉnh $A$.$AI\cap BC\equiv D.AI\cap (O)\equiv M$.$N$ thuộc đoạn $BD$.$(O_{1})$ ngoại tiếp $AND$.$(O_{2})$ đi qua $A,I$ và tiếp xúc trong với $(O_{1})$ tại $A$.$(O)\cap (O_{2})\equiv P.(O_{2})\cap AN\equiv Q$
Chứng minh:a) $\overline{M,N,P}$
b) $NI_{a}\parallel PQ$
NGÀY THI THỨ HAI
THỜI GIAN:180'
$\boxed{\text{Bài 1}}$ Cho dãy $(x_{n})$ thỏa mãn:
$x_{1}=1,x_{2}=1,x_{3}=3$
$x_{n}x_{n-3}=x_{n-1}^{2}+x_{n-1}x_{n-2}+x_{n-2}^{2}.\forall n\geq 4$
Chứng minh: mọi số hạng của dãy nguyên.
$\boxed{\text{Bài 2}}$ Cho $a,b,c$ là ba cạnh một tam giác.
Chứng minh:
$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}+\frac{3}{2}\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{6abc}$
$\boxed{\text{Bài 3}}$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$,$A$ thay đổi,$B,C$ cố định.$AD,BE,CF$ là các đường cao.$P,Q$ thuộc tia đối của $ED,FD$ sao cho $EP=FQ=EF$.Chứng minh:
a) $(DPQ)$ đi qua điểm cố định
b) Đường qua $A$ vuông góc $PQ$ đi qua điểm cố định.
$\boxed{\text{Bài 4}}$.Cho bẩy số nguyên dương phân biệt $a_{1},a_{2},...,a_{7}$ .Xét $1\leq i< j\leq 7$ ta viết lên bảng các số $a_{i}+_{j},\left | a_{i}-a_{j} \right |,a_{i}a_{j}$.$G$ là tập các số nguyên dương lẻ trên bảng.Tìm $max\left | G \right |$ khi $a_{1},a_{2},...,a_{7}$ thay đổi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTMFlashNo1: 14-03-2017 - 17:15