Sở Giáo Dục và Đào Tạo Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 cấp THCS
tỉnh Nghệ an Năm học 2016-2017
Câu 1: (4,0 điểm)
a. Tìm các hệ số $b, c$ của đa thức $P(x)=x^{2}+bx+c$ biết $P(x)$ có giá trị nhỏ nhất bằng $-1$ khi $x=2.$
b. Giải hệ phương trình: \begin{cases} & x^{2}+xy^{2}-xy-y^{3}=0 \\ & 2\sqrt{y}- 2(x^{2}+1)-3\sqrt{x}(y+1)-y=0 \end{cases}
Câu 2: (4,0 điểm)
a. Giải phương trình $x+2=3\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1+x}$
b. Cho các số dương $a, b, c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^{2}}}.$
Câu 3: (3,0 điểm). Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}=135^{\circ}$, $BC=5 cm$ và đường cao $AH=1 cm$. Tính độ dài các cạnh $AB$ và $AC$.
Câu 4: (5,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$, $D$ là điểm trên cung $DC$ không chứa $A$. Dựng hình bình hành $ADCE$. Gọi $H,K$ lần lượt là trực tâm của các tam giác $ABC$, $ACE; P,Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $K$ trên đường thẳng $BC,AB$ và $I$ là giao điểm của $EK$ với $AC$.
a. Chứng minh rằng 3 điểm $P, I, Q$ thẳng hàng.
b. Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ đi qua trung điểm $HK$.
Câu 5: (4,0 điểm).
a. Tìm tất cả các số nguyên tố khác nhau $m,n,p,q$ thoả mãn
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{mnpq}=1$
b. Trên một hàng có ghi 2 số $1$ và $5$. Ta ghi các số tiếp theo lên bẳng theo nguyên tắc. Nếu có 2 số $x, y$ phân biệt trên bảng thì ghi thêm số $z=xy+x+y$. Chứng minh rằng các số được ghi trên bảng (trừ số $1$ ra) có dạng $3k+2$ (với $k$ là số tự nhiên).
-----Hết------
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 17-03-2017 - 08:26