Chủ đề này có 1 trả lời

[lehakhiem212]

Cho tam giác $ABC$, trực tâm $H$. Đường cao $BE$, $CF$. $EF$ cắt $AH$ tại $L$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. $HM$ cắt đường tròn đường kính $AH$ tại $S$. Đường thẳng qua $L$ vuông góc $AH$ cắt $AS,AM$ tại $P,Q$.CMR: $APQH$ là tứ giác nội tiếp.

[dangkhuong]

Bài toán này không quá khó xong mình thấy khá hay và thú vị

 

Lời giải: Gọi đường thẳng qua $L$ vuông góc $AH$ cắt $AB,AC$ tại lần lượt $X,Y$. Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ thì: $MH$ cắt $(AEF)$ trên $(O)$ tại điểm $S$. Để ý rằng các tứ giác $SAFE, BFEC, SACB$ nội tiếp do đó $SA,EF,BC$ đồng quy tại điểm $J$. Theo hàng điểm điều hoà cơ bản thì: $(JD,BC)=-1$ suy ra $A(JD,BC)=A(QL,XY)=-1$ do đó chú ý $AM$ là trung tuyến tam giác $ABC$ nên $P$ là trung điểm $XY$ vậy $LP.LQ=LX.LY$(hệ thức $Maclaurin$) mà $\angle AYX=\angle ACB=\angle AFE$ nên $XFYE$ nội tiếp suy ra $LE.LF=LX.LY=LA.LH=LP.LQ$ hay là $AQHP$ nội tiếp(đpcm).

Hình gửi kèm

•