Chủ đề này có 1 trả lời

[yeutoan2001]

Giải hệ phương trình:

      $\left\{\begin{matrix} 3^{x}+2^{y}=5\\ 3^{y}+2^{x}=5 \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 26-03-2017 - 22:33

[NAT]

Giải hệ phương trình:

      $\left\{\begin{matrix} 3^{x}+2^{y}=5\\ 3^{y}+2^{x}=5 \end{matrix}\right.$

* Dễ thấy với $x \le 0$ và $y\le 0$ không thỏa HPT.

* Từ HPT suy ra ${{3}^{x}}-{{2}^{x}}={{3}^{y}}-{{2}^{y}}$ (1)

Xét hàm số $f(x)=3^x-2^x$, ta có: $f'(x)={{3}^{x}}\ln 3-{{2}^{x}}\ln 2$; $f'(x)=0\Leftrightarrow x={{\log }_{\frac{3}{2}}}\left( {{\log }_{3}}2 \right)$

Từ bảng biến thiên của $f(x)$ suy ra: $f(x)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty  \right)$ và $f(x)<0,\forall x<0$.

- TH ${x>0}$ và ${y>0}$: (1)$\Leftrightarrow f\left( x \right)=f\left( y \right)\Leftrightarrow x=y$.

Thay vào hệ tìm được $x=y=1$.

- TH ${x>0}$ và ${y<0}$: $f(x)>0$, $f\left( y \right)<0$, suy ra HPT vô nghiệm

- TH ${x<0}$ và ${y>0}$: $f(x)<0$, $f\left( y \right)>0$, suy ra HPT vô nghiệm

Vậy $x=y=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NAT: 02-07-2017 - 10:19