Vấn đề 1:
Tổng quát bài toán :
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz và n $\geq 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{x}{y^{n}}+\frac{y}{z^{n}}+\frac{z}{x^{n}}$
Đề xuất bởi Nguyễn Phúc Tăng
Với trường hợp n = 3 được tác giả Sladjan Stankovik-Macedonia đề xuất trên Group mathematical inequalities và hiện đã có 5 cách khác nhau để giải quyết cho trường hợp này.
Nhận xét: Nếu n càng lớn thì bất đẳng thức càng dễ giải quyết và bài toán này quá dễ không chặt chẽ lắm.
Vấn đề 2:
Với trường hợp 4 biến bất đẳng thức vẫn đúng.
Cho x, y, z, t là các số thực dương thỏa mãn xy + yz + zt + tx + xz + yt = xyzt. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
(a)$P=\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{z^{2}}{t}+\frac{t^{2}}{x}$
(b)$Q=\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{z^{2}}+\frac{z}{t^{2}}+\frac{t}{x^{2}}$
Đề xuất bởi thầy Nguyễn Việt Hùng - Giáo viên trường THPT Chuyên KHTN-ĐHQGHN
Vấn đề 3:
Làm trội bài toán:
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz và n $>\frac{1}{2}$. Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{x^{n}}{y^{n-\frac{1}{2}}}+\frac{y^{n}}{z^{n-\frac{1}{2}}}+\frac{z^{n}}{x^{n-\frac{1}{2}}}$
Đề xuất bởi Nguyễn Phúc Tăng
Vấn đề này đang được chúng tôi tổng quát và hi vọng sẽ có kết quả chặt hơn nhiều.
Có thể những bài trên không được hay lắm nhưng so với bài gốc thực sự khó hơn nhiều
Việc mở rộng này vẫn đang được tiếp tục thực hiện và sẽ được đăng sau!
