Cho $abcd=1$. Chứng minh $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}\geq 1$
Hướng giải của em như sau:
Từ $abcd = 1$ ta có: $a = \frac{1}{bcd}$, $b = \frac{1}{acd}$, $c = \frac{1}{abd}$, $d = \frac{1}{abc}$ (1)
và $a$, $b$, $c$, $d$ $\neq 0$
Thay (1) vào bất đẳng thức đã cho, ta được:
$\frac{1}{(\frac{1}{bcd})^{2} + 1} + \frac{1}{(\frac{1}{acd})^{2} + 1} + \frac{1}{(\frac{1}{abd})^{2} + 1} + \frac{1}{(\frac{1}{abc})^{2} + 1} \geqslant 2$
$\Leftrightarrow \frac{(bcd)^{2}}{(bcd)^{2} + 1} + \frac{(acd)^{2}}{(acd)^{2} + 1} + \frac{(abd)^{2}}{(abd)^{2} + 1} + \frac{(abc)^{2}}{(abc)^{2} + 1} \geqslant 2$
Bất đẳng thức trên tương đương với:
$\frac{w}{w + 1} + \frac{x}{x + 1} + \frac{y}{y + 1} + \frac{z}{z + 1} \geqslant 2 \forall w, x, y, z > 0$
Dễ dàng chứng minh: $\frac{w}{w + 1} \geqslant \frac{1}{2} \forall w > 0$ ....
$\Rightarrow \frac{w}{w + 1} + \frac{x}{x + 1} + \frac{y}{y + 1} + \frac{z}{z + 1} \geqslant \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2$
hay $\frac{1}{a^{2} + 1} + \frac{1}{b^{2} + 1} + \frac{1}{c^{2} + 1} + \frac{1}{d^{2} + 1} \geqslant 2$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = d$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tcm: 24-03-2017 - 12:12