Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Bài toán đóng gói hình cầu

sphere packing

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1417 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Algebraic topology , homological algebra

Đã gửi 18-03-2017 - 01:06

cannon-balls.jpg

 

Có lẽ bạn đã có lần nhìn thấy trong quá khứ qua tranh ảnh người ta xếp các quả đạn đại bác thành chồng để chuẩn bị bắn pháo . Hoặc gần như chắc chắn bạn đã thấy người ta xếp một đống các quả cam lên nhau ở cửa hàng tạp hóa trong địa phương bạn . Trong cả hai trường hợp , đống xếp có thể là một tháp tam giác , mỗi quả ở trên xếp gọn gàng vào một khe giữa các quả ở dưới , dường như đây là cách tốt nhất để làm điều này . Vậy làm thế nào bạn biết rằng nó đúng ? 

Đó là một ví dụ của bài toán đóng gói hình cầu ( sphere packing or Kepler conjecture ) . Một vấn đề yêu thích của các nhà toán học trong hàng thế kỉ . Trường hợp ba chiều có các ứng dụng rất rõ ràng ( chúng ta thường cần đóng gói vật thể hình cầu trong không gian ) , nhưng vấn đề này có thể phát biểu ở bất kì chiều nào . Trong một không gian $d$ chiều kí hiệu là $R^{d}$ . Hình cầu $d-1$ chiều là tập hợp các điểm cách gốc tọa độ một khoảng cách là $1$ . Với $d=2$ đó là hình tròn , với $d=3$ đó là hình cầu mà ta thường thấy ( có thể ví như bề mặt quả cam ) . Phát biểu đúng của bài toán là tìm sự dày đặc lớn nhất  ( tỉ trọng ) của một gói cầu . Có thể hiểu là cho một không gian $d$ chiều hữu hạn chúng ta muốn tìm một cách sắp xếp các hình cầu vào không gian này sao cho nó chiếm một không gian lớn nhất có thể . 

Lời giải cho trường hợp $d=2$ và $d=3$ đã có từ hàng thế kỉ nay . Gần đây ,nhà toán học Maryna Viazovska thuộc đại học Humboldt tại Berlin thông báo đã giải quyết được trường hợp $d=8$ và cùng với sự hợp tác với một số nhà toán học khác đã giải quyết được trường hợp $d=24$ 

Nghiên cứu về các gói bắt đầu với cái gọi là lưới sắp xếp . Tâm của các hình cầu trong mỗi cách sắp xếp nằm tại các điểm của một lưới trong không gian xung quanh và thể hiện một mức độ đối xứng cao . Bước đầu tiên là xác định mức độ dày đặc nhất có thể của một lưới các gói và hy vọng nó là một cách tổng thể hoặc không . Trường hợp $d=2$ với các hình tròn đã được giải trong trường hợp lưới bởi Joseph Louis Lagrange năm $1773$ . Nó là một gói chưa thật rõ ràng dựa trên sự xếp chồng mặt phẳng bằng cách hình lục giác đều mà tâm mỗi hình tròn là đỉnh của các lục giác . Mật độ của sự sắp xếp này là $\frac{\pi}{2\sqrt{3}} \sim 0,9069$ và nó được chứng minh bởi Laszlo Fejes Toth năm $1940$ rằng đây là phương án tối ưu .

 

Circle_packing_hexagonal.jpg

 

Câu hỏi về các quả đạn pháo lần đầu tiên được tìm hiểu bởi Thomas Harriot vào năm $1587$ sau khi Sir Walter Raleigh hỏi về một phương pháp xếp tốt nhất cho các quả đạn pháo ở trên boong tàu . Và đã có một phương pháp gọi là sự sắp xếp các khối tâm mặt trong đó mỗi hình cầu có $12$ hình cầu xếp xung quanh nó . Carl Fiedrich Gauss đã chứng minh rằng đây là sự sắp xếp tốt nhất với mật độ $\frac{\pi}{3\sqrt{2}} \sim 0,74048$ và khẳng định điều này là tối ưu trong số tất cả các gói được gọi là " Dự đoán Kepler . Điều này cuối cùng được chứng minh thởi Thomas Hales năm $1998$ thông qua một máy tính , mà lần đầu tiên để lại một sự thú vị nếu nó thực sự đúng . Có rất nhiều cách sắp xếp có cùng mật độ tuy nhiên đều là các biến thể của cách xếp pháp và cam . 

Lưu ý rằng các cách sắp xếp này thể hiện rất nhiều sự đối xứng , do đó một cách tự nhiên để tìm các lưới như vậy trong chiều cao hơn là giải pháp tốt nhất cho các gói dày đặc . Không gian $8$ chiều có một mạng tinh thể đặc biệt gọi là lưới $E8$ . Đây là các điểm mà tọa độ của nó là tất cả các số nguyên hoặc là một nửa các số nguyên và thêm vào một số chẵn ( ví dụ $(1,2,-1,0,4,-2,-1,-1) , (\frac{1}{2} , \frac{1}{2} , 0 , \frac{-1}{2} , \frac{7}{2} , 0 , \frac{-1}{2} , \frac{5}{2} )$) . Sử dụng các điểm này làm tâm các quả cầu thì thu được một sự sắp xếp có mật độ $\frac{\pi^{4}}{384} \sim 0,25367$ . Lưu ý rằng mật độ nhỏ hơn khi số chiều tăng lên .Điều này không quá ngạc nhiên vì hình cầu đơn vị chiếm ít hơn và ít hơn khối lượng biên của nó trong các chiều cao hơn  .

Các kĩ thuật của Viazovska đã sử dựng đê chứng minh mạng $E8$ tối ưu thực sự là quá cao để có thể nói ở đây . Nhưng đây là một tiến bộ rất lớn , và hy vọng các nhìn sâu sắc về sự cơ bản của nó sẽ giúp ích cho các chiều cao hơn , ví dụ $d=24$ . 

 

Dịch từ : forbes.com 

Người dịch : Phạm Khoa Bằng - bangbang1412


" As Grothendieck taught us , object aren't of great importance , it's relation between them that are " - Serre

#2 Ngoc Tran YB

Ngoc Tran YB

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 41 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:=))) KHÔNG NHỚ
  • Sở thích:EM BỊ ĐIÊN ĐẤY ĐỪNG CHƠI VỚI EM

Đã gửi 18-03-2017 - 13:01

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


Sự nỗ lực là tên gọi khác của kì tích   
Thực ra mình muốn học ở Y HN trong 4 năm nữa
Thực ra hai điều trên không liên quan
Cảm ơn đã đọc
Nhưng thôi đọc làm gì nữa hết rồi mà :closedeyes:
  :closedeyes: 
uahhhhhh 
Làm ván truy kích k ? T chơi dao thôi :mellow:
  :mellow:  :mellow:  :mellow:  :mellow: 
mình Best thần kinh ruiiiiiiii.giá như thế giới không con nào thần kinh như mình phải tốt đẹp hơn không 


#3 Thuyeutoan123

Thuyeutoan123

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:Mik thích học toán , mik ước mơ trở thành nhà toán học

Đã gửi 29-06-2017 - 20:39

Gauss giỏi ở nhìu lĩnh vực thật>33

#4 mrhieuson

mrhieuson

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Đã gửi 18-09-2017 - 11:09

quả nhiên thấy giỏi thật ở nhiều  lĩnh vực thật đấy






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh