Chủ đề này có 9 trả lời

[Nguyenphuctang]

Đề vừa mới thi xong.

[viet9a14124869]

Đề vừa mới thi xong.

Cho em hỏi câu cuối làm thế nào vậy anh !!!

[Nguyenphuctang]

Cho em hỏi câu cuối làm thế nào vậy anh !!!

China TST 2004 lát mình sẽ full. Gợi ý: Cauchy-Schwarz

Câu hình: Nguồn: Nguyễn Lê Phước

[Nguyenphuctang]

Cho em hỏi câu cuối làm thế nào vậy anh !!!

Đáp án mình vừa gõ tại đây:

https://mathematical...hpt-chuyen.html

[NHoang1608]

Câu bất nhé:

Dễ thấy $VT=\frac{2a+b+c}{b+c}+\frac{2b+c+a}{c+a}+\frac{2c+a+b}{b+a}$

               $ =\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}+3$

Ta có $(\frac{a}{b}-\frac{a}{b+c})+(\frac{b}{c}-\frac{b}{c+a})+(\frac{c}{a}-\frac{c}{a+b})=\frac{ac}{b(b+c)}+\frac{ab}{c(c+a)}+\frac{bc}{a(a+b)}$

           $= \frac{(ac)^{2}}{abc(b+c)}+\frac{(ab)^{2}}{abc(c+a)}+\frac{(bc)^{2}}{bca(a+b)} \geq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{2abc(a+b+c)} \geq \frac{3}{2}$

      $\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} + \frac{3}{2}$

      $\Leftrightarrow 2( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} )\geq \frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}+3 =VT$

Suy ra đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 18-03-2017 - 21:32

[lenadal]

Cho em hỏi câu cuối làm thế nào vậy anh !!!

 

Đề vừa mới thi xong.

Một vd khác

cmr với a,b,c > 0

thì $\sum \frac{a}{b}\geq \sum \frac{a+b}{a+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenadal: 18-03-2017 - 21:44

[Nguyenphuctang]

Câu bất nhé:

Dễ thấy $VT=\frac{2a+b+c}{b+c}+\frac{2b+c+a}{c+a}+\frac{2c+a+b}{b+a}$

               $ =\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}+3$

Ta có $(\frac{a}{b}-\frac{a}{b+c})+(\frac{b}{c}-\frac{b}{c+a})+(\frac{c}{a}-\frac{c}{a+b})=\frac{ac}{b(b+c)}+\frac{ab}{c(c+a)}+\frac{bc}{a(a+b)}$

           $= \frac{(ac)^{2}}{abc(b+c)}+\frac{(ab)^{2}}{abc(c+a)}+\frac{(bc)^{2}}{bca(a+b)} \geq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{2abc(a+b+c)} \geq \frac{3}{2}$

      $\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} + \frac{3}{2}$

      $\Leftrightarrow 2( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} )\geq \frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}+3 =VT$

Suy ra đpcm.

Giống hệt với cách giải trong blog. 

 

Một vd khác

cmr với a,b,c > 0

thì $\sum \frac{a}{b}\geq \sum \frac{a+b}{a+c}$

Thực sự bài này cũng quá cũ rồi và không được chặt lắm vì thế sẽ còn nhiều cách khác nữa có thể sử dụng những bổ đề trội hơn để chứng minh. Chúc các bạn may mắn 

[NHoang1608]

Giống hệt với cách giải trong blog. 

 

Thực sự bài này cũng quá cũ rồi và không được chặt lắm vì thế sẽ còn nhiều cách khác nữa có thể sử dụng những bổ đề trội hơn để chứng minh. Chúc các bạn may mắn 

Đag đánh thì thấy có bài post mới r, chậm mất 1ph. Thực ra hình như đề gốc là $a+b+c=1$.

[Kiratran]

Giống hệt với cách giải trong blog. 

 

Thực sự bài này cũng quá cũ rồi và không được chặt lắm vì thế sẽ còn nhiều cách khác nữa có thể sử dụng những bổ đề trội hơn để chứng minh. Chúc các bạn may mắn 

chặt là như thế nào hả bạn

[tuaneee111]

Câu bất đẳng thức.

Không mất tính tổng quát ta giả sử:

\[c = \min \left\{ {a,b,c} \right\} \Rightarrow 2\left( {a + b} \right) > a + b + c\]

Thế gt vào bất đẳng thức ta có được:

\[VT - VP = {\left( {a - b} \right)^2}\left( {\frac{{ - 2ab - 4bc - 4ca - 4{c^2}}}{{ab\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}}} \right) + \left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)\left( {\frac{{a + b - 2c}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} - \frac{{2\left( {a + b} \right)}}{{abc}}} \right)\]

Mặt khác ta lại có:

\[\frac{{a + b - 2c}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} - \frac{{2\left( {a + b} \right)}}{{abc}} < \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{{abc - \left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{abc\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}} \right) < 0\]

Vậy nên bất đẳng thức được chứng minh thành công!