Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$f(m+n)+f(mn-1)=f(m)f(n)+2$

phương trình hàm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Nghiapnh1002

Nghiapnh1002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-03-2017 - 21:12

Tìm tất cả các hàm số$\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn:$f(m+n)+f(mn-1)=f(m)f(n)+2$



#2 Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 395 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán Tin trường ĐH KHTN TP Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Algebraic Topology and Algebraic Geometry

Đã gửi 06-09-2017 - 17:10

Tìm tất cả các hàm số$\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn:$f(m+n)+f(mn-1)=f(m)f(n)+2$ (1)

Nếu $f(n)=C,$ với $C$ là hằng số thì thế vào (1) ta được: $2C=C^{2}+2,$ phương trình này vô nghiệm, vậy suy ra $f$ không phải là hàm hằng.

Từ (1), thế $m=0$ ta được: $f(n)+f(-1)=f(0).f(n)+2, \forall n\in \mathbb{Z}.$

$\Leftrightarrow \left [ f(0)-1 \right ].f(n)=f(-1)-2, \forall n\in \mathbb{Z}$ (2)

Nếu $f(0)-1\neq 0$ thì từ (2) suy ra $f$ là hàm hằng, vô lý.

Vậy $f(0)=1$ và $f(-1)=2.$

Từ (1) thế $m=-1$ ta được: $f(n-1)+f(-n-1)=2f(n)+2, \forall n\in \mathbb{Z}$ (3).

Từ (3) thế $n$ bởi $-n$ ta được: $f(-n-1)+f(n-1)=2f(-n)+2, \forall n\in \mathbb{Z}$ (4).

Từ (3) và (4) suy ra: $f(n)=f(-n), \forall n\in \mathbb{Z}$ và (3) trở thành:

$f(n-1)+f(n+1)=2f(n)+2, \forall n\in \mathbb{Z}$ (5).

Xét dãy số $\left ( x_{n} \right )_{n=0}^{+\infty }$ như sau: $x_{n}=f(n), \forall n=0, 1, 2, ...$

Từ (5) ta có: $x_{n+1}+x_{n-1}=2x_{n}+2, \forall n\in \mathbb{N}.$

Giải phương trình này ta được: $x_{n}=n^{2}+1\Rightarrow f(n)=n^{2}+1, \forall n\in \mathbb{N}.$

Do $f$ là hàm chẵn trên $\mathbb{Z}$ nên ta suy ra: $f(n)=n^{2}+1, \forall n\in \mathbb{Z}.$

Thử lại thấy thỏa mãn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zz Isaac Newton Zz: 26-10-2019 - 18:39






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh