Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố có dạng $p=4k+3$, với $m$ là số tự nhiên thì phương trình $x^2+y^2=pz^2$ không có nghiệm nguyên dương $ (x,y,z)$
#1
Đã gửi 18-03-2017 - 21:16
#2
Đã gửi 18-03-2017 - 21:26
Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố có dạng $p=4k+3$, với $m$ là số tự nhiên thì phương trình $x^2+y^2=pz^2$ không có nghiệm nguyên dương $ (x,y,z)$
Bổ đề: Cho $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$
$x^2+y^2 \vdots p <=> x,y \vdots p $
Trở lại bài toán, ta có
$x=px_1; y=py_1, z=pz_1 $ ( vì nếu $z$ không chia hết cho $p$ thì VT chia hết cho $p^2$ còn VP thì không )
Quy về lại pt :
$x_1^2+ y_1^2 =pz_1^2$
Làm liên tục như vậy thì ta có pt chỉ có nghiệm $(0;0;0)$ vô lí
- Nghiapnh1002 yêu thích
#3
Đã gửi 18-03-2017 - 21:37
Bổ đề: Cho $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$
$x^2+y^2 \vdots p <=> x,y \vdots p $
Trở lại bài toán, ta có
$x=px_1; y=py_1, z=pz_1 $ ( vì nếu $z$ không chia hết cho $p$ thì VT chia hết cho $p^2$ còn VP thì không )
Quy về lại pt :
$x_1^2+ y_1^2 =pz_1^2$
Làm liên tục như vậy thì ta có pt chỉ có nghiệm $(0;0;0)$ vô lí
Sao bạn không chứng minh cái bổ đề đó?
#4
Đã gửi 19-03-2017 - 00:23
Sao bạn không chứng minh cái bổ đề đó?
Đây là bổ đề quen thuộc mà bạn, sử dụng định lí Fermat
- Nghiapnh1002 yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$x^n+n \vdots p^m$Bắt đầu bởi trinhgiahuy2008, 15-01-2024 số học |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh