Cho tam giác ABC và đường tròn (O) có đường kính EF nằm trên cạnh BC (E nằm giữa B và F, F nằm giữa E và C) tiếp xúc với hai cạnh AB, AC tại Q, P theo thứ tự đó. Các đường thẳng EP, FQ cắt nhau tại K. Chứng minh rằng AK vuông góc với BC.
Anh chị ơi giúp em giải bài hình này được không ạ, khó quá em ngồi phát khóc lên rồi, cảm ơn nhiều ạ !
Bắt đầu bởi vu huu an, 18-03-2017 - 22:12
#2
Đã gửi 19-03-2017 - 15:57
quantv2006
-
- Thành viên
-
- 162 Bài viết
Trung sĩ
Cho tam giác ABC và đường tròn (O) có đường kính EF nằm trên cạnh BC (E nằm giữa B và F, F nằm giữa E và C) tiếp xúc với hai cạnh AB, AC tại Q, P theo thứ tự đó. Các đường thẳng EP, FQ cắt nhau tại K. Chứng minh rằng AK vuông góc với BC.
Gọi N là giao điểm của EQ và FP. Tam giác NEF có EP, FQ là các đường cao nên K là trực tâm của tam giác. Vậy NK vuông góc với EF hay NK vuông góc với BC. Ta sẽ chứng minh N, A, K thẳng hàng.
Ta có $\angle OQA=\angle FQN=90^0\Rightarrow \angle OQF=\angle NQA (1)$
Do NK vuông góc với EF nên $\angle QNK=\angle ENK=\angle OFQ (2)$
Lại có $\angle OQF=\angle OFQ(3)$
Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow \angle NQA=\angle QNK$
Tam giác NQK vuông tại Q, có $ \angle NQA=\angle QNK$ $\Rightarrow$ QA đi qua trung điểm của NK.
Chứng minh tương tự ta có PA đi qua trung điểm của NK.
Như vậy PA, QA và NK đồng quy tại trung điểm của NK hay A là trung điểm của NK hay N, A, K thẳng hàng.
Vậy AK vuông góc với BC (đpcm).
#3
Đã gửi 23-03-2017 - 05:57
vu huu an
-
- Thành viên mới
-
- 9 Bài viết
Lính mới
Gọi N là giao điểm của EQ và FP. Tam giác NEF có EP, FQ là các đường cao nên K là trực tâm của tam giác. Vậy NK vuông góc với EF hay NK vuông góc với BC. Ta sẽ chứng minh N, A, K thẳng hàng.
Ta có $\angle OQA=\angle FQN=90^0\Rightarrow \angle OQF=\angle NQA (1)$
Do NK vuông góc với EF nên $\angle QNK=\angle ENK=\angle OFQ (2)$
Lại có $\angle OQF=\angle OFQ(3)$
Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow \angle NQA=\angle QNK$
Tam giác NQK vuông tại Q, có $ \angle NQA=\angle QNK$ $\Rightarrow$ QA đi qua trung điểm của NK.
Chứng minh tương tự ta có PA đi qua trung điểm của NK.
Như vậy PA, QA và NK đồng quy tại trung điểm của NK hay A là trung điểm của NK hay N, A, K thẳng hàng.
Vậy AK vuông góc với BC (đpcm)
Thanks anh nhiều, thế mà em cứ nghĩ phức tạp đến tỉ lệ rồi đâu đâu.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
