Chủ đề này có 4 trả lời

[Nguyenphuctang]

[Ngoc Hung]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                      ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9

            ĐỒNG THÁP                                                     NĂM HỌC 2016 – 2017

                                                                                                Môn: Toán

Thời gian: 150 phút (Ngày thi: 19/03/2017)

 

 

Bài 1:  a) Tính giá trị của $A=\frac{4\sqrt{3-2\sqrt{2}}+10}{(1+\sqrt{2})(3+\sqrt{2})+1}$

            b) Cho $B=n^{4}+n^{3}-n^{2}-n$. Chứng minh rằng B chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

Bài 2: Cho biểu thức $P=\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\frac{x}{\sqrt{x}-1}+\frac{5-2x}{x-1}$

            a) Tìm điều kiện của x để P xác định và rút gọn P

            b) Tìm x để P = 7

Bài 3:  a) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng $(a+b+c)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq 9$

            b) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTLN của $P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$

Bài 4: a) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \frac{3}{\sqrt{x}+y}+\frac{5}{\sqrt{x}-y}=6 & \\ \frac{3}{\sqrt{x}+y}-\frac{4}{\sqrt{x}-y}=-3 & \end{matrix}\right.$

            b) Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi còn 60km nữa thì mới được nửa quảng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h trên quảng đường còn lại. Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn dự định 1 giờ. Tính quảng đường AB

Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ C và B của tam giác ABC. D là điểm đối xứng của A qua O, M là trung điểm BC, H là trực tâm tam giác ABC

            a) Chứng minh rằng M là trung điểm HD

            b) Gọi L là giao điểm thứ hai của CE với đường tròn tâm O. Chứng minh rằng H, L đối xứng nhau qua AB

Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 4. Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm E, F sao cho EC là phân giác của góc BEF. Trên tia AB lấy K sao cho BK = DF

            a) Chứng minh rằng CK = CF

            b) Chứng minh rằng EF = EK và EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

            c) Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích tam giác CEF lớn nhất

[Ngoc Hung]

 

Bài 3:  a) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng $(a+b+c)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq 9$

            b) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTLN của $P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$

 

b) Ta có $\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$

Do đó $P=3-\left ( \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1} \right )\leq 3-\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{3}{4}$

[Kagome]

Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ C và B của tam giác ABC. D là điểm đối xứng của A qua O, M là trung điểm BC, H là trực tâm tam giác ABC

            a) Chứng minh rằng M là trung điểm HD

            b) Gọi L là giao điểm thứ hai của CE với đường tròn tâm O. Chứng minh rằng H, L đối xứng nhau qua AB

a)$D$ đối xứng $A$ qua $O\Rightarrow D\in O\Rightarrow \angle BAC+\angle BDC=180^{\circ}$

$\angle BHC=\angle EHF$ 

$\angle EHF+\angle BAC=180^{\circ}$

$\Rightarrow \angle BDC=\angle BHC$      (1)

Mặt khác: $AOD$ là đường kính đường tròn $(O)$.

$\Rightarrow \angle ABD=\angle ACD=90^{\circ}$

Mà $\angle ABF=\angle ACE$

$\Rightarrow \angle HBD=\angle HCD$      (2)

$(1)(2)\Rightarrow HBDC$ là hình bình hành

$\Rightarrow đpcm$

b)$\angle EHA=\angle EFA=\angle ABC=\frac{1}{2}\text{sđ}\overarc{AC}=\angle ALC$

$\Rightarrow \triangle ALH$ cân tại $H\Rightarrow đpcm$.

[murasaki]

 câu 6c làm thế nào vậy ạ