Chủ đề này có 2 trả lời

[viet9a14124869]

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=abc,,,,

Chứng minh rằng $(a+b-c-1)(b+c-a-1)(c+a-b-1)\leq 8$

 

Đây là đề thi tỉnh em hôm nay ,,đăng lên để mọi người tham khảo @@

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 19-03-2017 - 16:47

[iloveyouproht]

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=abc,,,,

Chứng minh rằng $(a+b-c-1)(b+c-a-1)(c+a-b-1)\leq 8$

 

Đây là đề thi tỉnh em hôm nay ,,đăng lên để mọi người tham khảo @@

Đào mộ

Đặt (x,y,z)->(a-1,b-1,c-1) => x,y,z>0

Ta có :

GT=> $\sum (x+1)(y+1)=\prod (x+1)<=>\sum x+2=xyz$

Ta cần cm : $\prod (a+b-c)\leq 8$

từ GT => $\sum x\geq 6$ => $xyz=\sum x+2\leq \frac{4(\sum x)}{3}$

Hay $\frac{xyz}{\sum x}\leq \frac{4}{3}$

Ta chỉ việc chứng minh : $\frac{xyz}{\sum x}\sqrt{\frac{27xyz}{\sum x}}\geq \prod (x+y-z)$

                           <=> $27x^{3}y^{3}z^{3}\geq (\sum x)^{3}\prod (x+y-z)^{2}$

Bây giờ lại đặt x+y-z=m ; y+z-x=n ; z+x-y=p => 2x=m+p ; 2y=m+n ; 2z=n+p 

 

Ta đưa bđt về cần cm : $27\prod (m+n)^{3}\geq 512m^{2}n^{2}p^{2}(\sum m)^{3}$

 Vì $9\prod (m+n)\geq 8( m+n+p)( mn+np+pm)$

Nên ta chỉ cần cm : $(m+n+p)^{3}( mn+np+pm)^{3}\geq 27m^{2}n^{2}p^{2}(m+n+p)^{3}$

              <=> $(mn+np+pm)^{3}\geq 27m^{2}n^{2}p^{2}$ ( đúng theo cauchy )

Dấu '=' xảy ra khi a=b=c=3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi iloveyouproht: 04-04-2017 - 02:55

[diemdaotran]

đặt a+b-c-1=2$x^3$

      b+c-a-1=2$y^3$

      c+a-b-1=2$z^3$

khi đó bđt cần cm $\Leftrightarrow$xyz$\leq 1$

từ gt $\Rightarrow \frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}=1$

giả sử xyz>1$\Rightarrow xyz(x+y)+z> x+y+z (1)$

mà $xy(x+y)+1\leq x^3+y^3+1\Rightarrow z\left [ xy(x+y)+1 \right ]\leq z(x^3+y^3+1) \Leftrightarrow xyz(x+y)+z\leq z(x^3+y^3+1) (2)$ Từ (1) va (2) $\Rightarrow x+y+z< z(x^3+y^3+1)\Rightarrow \frac{z}{x+y+z}> \frac{1}{x^3+y^3+1}$ tương tự cộng vế ta đc 1<1$\Rightarrow điều giả sử sai \Rightarrow đpcm$