1 reply to this topic

[dreamcatcher170201]

Cho $a;b;c$ dương thỏa mãn $a+b+c=3$.Tìm Max M= $\sum \frac{1}{a^2+b^2+3}$

[Trinm]

Bài này sử dụng "Yếu tố ít nhất" nhé :

Ta sẽ chứng minh : $M \leq \frac{3}{5}$ 

$<=> \sum \frac{a^2 + b^2 }{a^2 +b^2+3}\geq \frac{6}{5}$

$<=> \sum \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2+3}+\sum \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2+3}\geq \frac{12}{5}$ (1)

Theo BĐT Cauchy - Schwarz thì : $VT \geq \sum \frac{4(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+9}+\sum \frac{[(a-b)+(b-c)+(a-c)]^2}{2(a^2+b^2+c^2)+9}$

Vậy thì $(1) <=> \sum \frac{4(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+9}+\sum \frac{[(a-b)+(b-c)+(a-c)]^2}{2(a^2+b^2+c^2)+9}\geq \frac{12}{5}$

$<=> ... ... ... <=> (a-b)(b-c)\geq 0$ (*)

Tương tự như thế ta cũng có : $(b-c)(c-a)\geq 0$ (**) ;  $(c-a)(a-b)\geq 0$(***)

$(*).(**).(***)$ vế theo vế : $(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2\geq 0$

Vậy ta thấy ít nhất 1 trong 3 bất đẳng thức (*), (**), (***) phải đúng 

Vậy max $M = \frac{3}{5}$ khi $a=b=c=1$

Edited by Trinm, 26-03-2017 - 22:36.