Chủ đề này có 10 trả lời

[liembinh83]

Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Ninh môn toán 9 năm học 2016 - 2017

 

Hình gửi kèm

• 

[cristianoronaldo]

câu bất thi JBMO2016

[NHoang1608]

Câu bđt nhẹ nhàng. (Balkan mk)

Ta có $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq \frac{(a+b)^{2}}{4}+\frac{(b+c)^{2}}{4}+\frac{(c+a)^{2}}{4}$

          $ (a+b)^{2}+4abc\leq (a+b)^{2}+(a+b)^{2}c = (a+b)^{2}(c+1) \Rightarrow \frac{8}{(a+b)^{2}+4abc}\geq \frac{8}{(a+b)^{2}(c+1)}.$

Từ 2 bđt trên thì ta có: $VT \geq \frac{8}{(a+b)^{2}(c+1)}+\frac{8}{(b+c)^{2}(a+1)}+\frac{8}{(c+a)^{2}(b+1)}+\frac{(a+b)^{2}}{4}+\frac{(b+c)^{2}}{4}+\frac{(c+a)^{2}}{4}$. $(1)$

Áp dụng bđt AM-GM liên tiếp thì ta có $\frac{8}{(a+b)^{2}(c+1)}+ \frac{(a+b)^{2}}{4} \geq 2\sqrt{\frac{2}{c+1}} = 4\frac{1}{\sqrt{2(c+1)}} \geq \frac{8}{c+1+2}= \frac{8}{c+3}.$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ thì ta có $VT \geq \frac{8}{a+3}+\frac{8}{b+3}+\frac{8}{c+3}$.

DBXR khi $a=b=c=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 21-03-2017 - 08:09

[Ngoc Hung]

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                          ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

            BẮC NINH                                                             NĂM HỌC 2016 – 2017

                                                                                            Môn thi: Toán – Lớp 9

                                                                                        Thời gian làm bài: 150 phút

 

 

Bài 1:  a) Rút gọn biểu thức $B=\sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}$

            b) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0; $a^{2}+b^{2}\neq c^{2};b^{2}+c^{2}\neq a^{2}; c^{2}+a^{2}\neq b^{2}$  

            Tính giá trị biểu thức $P=\frac{a^{2}}{a^{2}-b^{2}-c^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}-c^{2}-a^{2}}+\frac{c^{2}}{c^{2}-a^{2}-b^{2}}$ 

Bài 2:  a) Trong hệ trục tọa độ Oxy tìm trên đường thẳng y = 2x + 1 những điểm M(x; y) sao cho $y^{2}-5y\sqrt{x}+6x=0$

            b) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn $\frac{a}{6}+\frac{b}{5}+\frac{c}{4}=0$.

            Chứng minh rằng phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ luôn có nghiệm.

Bài 3:  a) Cho các số thực dương a, b, c.

            Chứng minh rằng $\sum \frac{8}{(a+b)^{2}+4abc}+\sum a^{2}\geq \sum \frac{8}{a+3}$

            b) Tìm các số nguyên tố a, b, c và số nguyên dương k thỏa mãn phương trình $a^{2}+b^{2}+16c^{2}=9k^{2}+1$

Bài 4: Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường tròn tâm O đường kính AB và nửa đường tròn tâm O’ đường kính AO. Điểm M thay đổi trên nửa đường tròn (O’) (M khác A và O), tia OM cắt đường tròn (O) tại C. Gọi D là giao điểm thứ hai của CA với đường tròn (O’).

            a) Chứng minh rằng tam giác ADM cân.

            b) Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt tia OD tại E. Chứng minh EA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’).

            c) Đường thẳng AM cắt OD tại H, đường tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh rằng ba điểm A, M, N thẳng hàng.

            d) Tính độ dài đoạn OM theo a biết ME song song với AB

Bài 5:  a) Cho hình vuông MNPQ và điểm A nằm trong tam giác MNP sao cho $AM^{2}=AP^{2}+2AN^{2}$

            Tính góc PAN  

            b) Cho các đa thức $P(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c;Q(x)=x^{2}+2016x+2017$ thỏa mãn P(x) = 0 có ba nghiệm thực phân biệt và  $P\left ( Q(x) \right )=0$ vô nghiệm. Chứng minh rằng $P(2017)> 1008^{6}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 21-03-2017 - 09:29

[NHoang1608]

Bài 5b) Gọi $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ là 3 nghiệm phân biệt của phương trình $x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$

$\Rightarrow P(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})$

$\Rightarrow P[Q(x)]=(Q(x)-x_{1})(Q(x)-x_{2})(Q(x)-x_{3})=0$ vô nghiệm nên $Q(x)-x_{1}\neq 0, Q(x)-x_{2}\neq 0, Q(x)-x_{3}\neq 0$ với mọi $x$

Nên phương trình $Q(x)-x_{1}=0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \Delta =2016^{2}-4.2017+4x_{1}<0$

                                                                               $ \Rightarrow 2017-x_{1}> 1008^{2}, 2017-x_{2}> 1008^{2}, 2017-x_{2}> 1008^{2}$

                                                                               $\Rightarrow P(2017)=(2017-x_{1})(2017-x_{2})(2017-x_{3})> 1008^{6}$ (ĐPCM)

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 21-03-2017 - 21:40

[adteams]

Bác nào giúp câu 2-b với     

[Minhnksc]

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                          ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

            BẮC NINH                                                             NĂM HỌC 2016 – 2017

                                                                                            Môn thi: Toán – Lớp 9

                                                                                        Thời gian làm bài: 150 phút

 

 

Bài 1:  a) Rút gọn biểu thức $B=\sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}$

            b) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0; $a^{2}+b^{2}\neq c^{2};b^{2}+c^{2}\neq a^{2}; c^{2}+a^{2}\neq b^{2}$  

            Tính giá trị biểu thức $P=\frac{a^{2}}{a^{2}-b^{2}-c^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}-c^{2}-a^{2}}+\frac{c^{2}}{c^{2}-a^{2}-b^{2}}$ 

Bài 2:  a) Trong hệ trục tọa độ Oxy tìm trên đường thẳng y = 2x + 1 những điểm M(x; y) sao cho $y^{2}-5y\sqrt{x}+6x=0$

            b) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn $\frac{a}{6}+\frac{b}{5}+\frac{c}{4}=0$.

            Chứng minh rằng phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ luôn có nghiệm.

Bài 3:  a) Cho các số thực dương a, b, c.

            Chứng minh rằng $\sum \frac{8}{(a+b)^{2}+4abc}+\sum a^{2}\geq \sum \frac{8}{a+3}$

            b) Tìm các số nguyên tố a, b, c và số nguyên dương k thỏa mãn phương trình $a^{2}+b^{2}+16c^{2}=9k^{2}+1$

Bài 4: Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường tròn tâm O đường kính AB và nửa đường tròn tâm O’ đường kính AO. Điểm M thay đổi trên nửa đường tròn (O’) (M khác A và O), tia OM cắt đường tròn (O) tại C. Gọi D là giao điểm thứ hai của CA với đường tròn (O’).

            a) Chứng minh rằng tam giác ADM cân.

            b) Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt tia OD tại E. Chứng minh EA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’).

            c) Đường thẳng AM cắt OD tại H, đường tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh rằng ba điểm A, M, N thẳng hàng.

            d) Tính độ dài đoạn OM theo a biết ME song song với AB

Bài 5:  a) Cho hình vuông MNPQ và điểm A nằm trong tam giác MNP sao cho $AM^{2}=AP^{2}+2AN^{2}$

            Tính góc PAN  

            b) Cho các đa thức $P(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c;Q(x)=x^{2}+2016x+2017$ thỏa mãn P(x) = 0 có ba nghiệm thực phân biệt và  $P\left ( Q(x) \right )=0$ vô nghiệm. Chứng minh rằng $P(2017)> 1008^{6}$ 

BÀI 5:

Trên nửa mặt phẳng bờ $AN$ chứa điểm $M$ dựng tam giác $ANK$ vuông cân tại $N$.

Từ đó suy ra $\angle{ANK}=\angle{PNM}$ và$AN=KN$ 

do đó dễ dàng chứng minh được $\Delta PAN=\Delta MKN \Rightarrow AP=KM$

lại có $AP^2+2.AN^2=KM^2$ và $AK^2=2.AN^2$ nên $AK^2+KM^2=AM^2$ và suy ra tam giác AMK vuông tại K

$\Rightarrow \angle{MKN}=\angle{NKA}+\angle{AKM}=45^0 + 90^0 =135^0$

 mà $\angle{MKN}=\angle{PAN}$ nên $\angle{PAN}=135^0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 04-04-2017 - 21:13

[phamngocminhtptb]

Bác nào giúp câu 2-b với     

Từ giả thiết ⇒10a+12b+15c=0

Rút b=-15c-10a

Thay b vào b^2-4ac

Chứng minh được cái này luôn dương ⇒ĐPCM

[123mothaiba]

Ai chém câu hình đi :V 

[Tea Coffee]

Em thử làm câu 3,b nếu sai mong mọi người sửa chữa giúp ạ:

Ta có: a^ 2 + b^2 + 16c^2 = 9k^2 +1

=>(a^2-1) +b^2+16c^2=9k^2=(3k)^2

Vì (3k)^2 chia hết cho 3 nên (a^2-1) +b^2+16c^2 chia hết cho 3

Mặt khác, a^2,b^2,c^2 là các số chính phương nên chia 3 dư 0 hoặc 1.

+)T/h 1: (a^2-1),b^2,16c^2 đều chia 3 dư 1

dễ thấy a^2 chia 3 dư 2 vô ly

+)T/h 2: (a^2-1),b^2,16c^2 đều chia hết cho 3

vì a,b,c là số nguyên tố nên b=c=3

=> a^2+152=(3k)^2 rồi chuyển vế đưa thành tích

+) T/h 3:16c^2 chia hết cho 3, b^2 chia 3 dư 2

=> c=3 và (a^2-1) chia 3 dư 2

=> a^2 chia hết cho 3=> a=3 

=> 152 +b^2=(3k)^2 

chuyển vế rồi lập tích

+)T/h 4: b^2 chia hết cho 3, 16c^2 chia 3 dư 1(vì 16 chia 3 dư 1 nên dư phụ thuộc vào c)

=> b=3 và a^2 chia hết cho 3=>a=3

=>17+(4c)^2=(3k)^2

chuyển về rồi lập tích

Nếu làm cụ thể thì hơi dài, có ai có cách khác ko ạ?

[syhoangtran]

bài hình này tương đối dễ,bạn thử giải đi