Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

CMR: M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A'B'C'


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 studentlovemath

studentlovemath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Thanh Hoá
  • Sở thích:.................

Đã gửi 20-03-2017 - 23:26

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB=6; BC=12; $\angle ABC=60^{0}$, thể tích hình chóp C'.ABB'A' bằng 216. Gọi M là điểm nằm trong tam giác A'B'C' sao cho tổng diện tích tất cả các mặt hình chóp M.ABC nhỏ nhất. CMR: M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A'B'C'. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng B'M và AC'


Làm việc đừng quá trông đợi vào kết quả, nhưng hãy mong cho mình làm được hết sức mình

 


#2 tritanngo99

tritanngo99

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 833 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-03-2017 - 05:55

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB=6; BC=12; $\angle ABC=60^{0}$, thể tích hình chóp C'.ABB'A' bằng 216. Gọi M là điểm nằm trong tam giác A'B'C' sao cho tổng diện tích tất cả các mặt hình chóp M.ABC nhỏ nhất. CMR: M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A'B'C'. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng B'M và AC'

adl.JPG

Từ $M$ kẻ $MI\bot A'B'$. Từ $I$ kẻ $IJ\bot AB$. Dễ dàng ta chứng minh được: $MJ\bot AB$.

Gọi $r_1,r_2,r_3$ lần lượt là khoảng cách từ $M$ đến $A'B',B'C',C'A'$.

Khi đó: Tổng diện tích các mặt của khối chóp nhỏ nhất khi và chỉ khi:

$P=\frac{1}{2}r_1AB+\frac{1}{2}r_2BC+\frac{1}{2}r_3CA$ nhỏ nhất.

Xét $\triangle ABC$ có $AB=6,BC=12,\widehat{ABC}=60^0\implies AC=6\sqrt{3},d(C,AB)=d(C,(ABB'A'))=6\sqrt{3}$.

Theo đề: $V_{C'.ABB'A'}=216\iff \frac{1}{3}d(C,(ABB'A')).AB.BB'\implies h=BB'=6\sqrt{3}$.

Khi đó: $2P=3\sqrt{h^2+r_1^2}+6\sqrt{h^2+r_2^2}+3\sqrt{3}\sqrt{h^2+r_3^2}$.

$\iff 2P=3(\sqrt{h^2+r_1^2}+\sqrt{4h^2+4r_2^2}+\sqrt{3h^2+3r_3^2})$.

Lại có: $S_{A'B'C'}=S_{ABC}=18\sqrt{3}\iff 6r_1+12r_2+6\sqrt{3}r_3=2.18\sqrt{3}\iff \boxed{r_1+2r_2+\sqrt{3}r_3}=6\sqrt{3}$.

Khi đó áp dụng bất đẳng thức Mincopxki (hay bất đẳng thức vector) ta có:

$2P=3(\sqrt{h^2+r_1^2}+\sqrt{4h^2+4r_2^2}+\sqrt{3h^2+3r_3^2})\ge 3\sqrt{(h+2h+\sqrt{3}h)^2+(r_1+2r_2+\sqrt{3}r_3)^2}=const$.

Dấu $=$ xảy ra khi $r_1=r_2=r_3$. Hay $M$ là tâm nội tiếp của tam giác $A'B'C'$.

Ý 2: Kẻ tia phân giác $BL$ góc $ABC$. Khi đó do theo câu a suy ra $BP//B'M$. Qua $P$ kẻ $PU//AC'(U\in CC' )$.

Khi đó góc giữa hai đường thẳng $\widehat{(AC',B'M)}=\widehat{BPU}$. Phần tính toán còn lại xin dành cho bạn đọc.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 21-03-2017 - 11:04





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh