Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB=6; BC=12; $\angle ABC=60^{0}$, thể tích hình chóp C'.ABB'A' bằng 216. Gọi M là điểm nằm trong tam giác A'B'C' sao cho tổng diện tích tất cả các mặt hình chóp M.ABC nhỏ nhất. CMR: M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A'B'C'. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng B'M và AC'
CMR: M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A'B'C'
#1
Đã gửi 20-03-2017 - 23:26
- tritanngo99 yêu thích
Làm việc đừng quá trông đợi vào kết quả, nhưng hãy mong cho mình làm được hết sức mình
#2
Đã gửi 21-03-2017 - 05:55
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB=6; BC=12; $\angle ABC=60^{0}$, thể tích hình chóp C'.ABB'A' bằng 216. Gọi M là điểm nằm trong tam giác A'B'C' sao cho tổng diện tích tất cả các mặt hình chóp M.ABC nhỏ nhất. CMR: M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A'B'C'. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng B'M và AC'
Từ $M$ kẻ $MI\bot A'B'$. Từ $I$ kẻ $IJ\bot AB$. Dễ dàng ta chứng minh được: $MJ\bot AB$.
Gọi $r_1,r_2,r_3$ lần lượt là khoảng cách từ $M$ đến $A'B',B'C',C'A'$.
Khi đó: Tổng diện tích các mặt của khối chóp nhỏ nhất khi và chỉ khi:
$P=\frac{1}{2}r_1AB+\frac{1}{2}r_2BC+\frac{1}{2}r_3CA$ nhỏ nhất.
Xét $\triangle ABC$ có $AB=6,BC=12,\widehat{ABC}=60^0\implies AC=6\sqrt{3},d(C,AB)=d(C,(ABB'A'))=6\sqrt{3}$.
Theo đề: $V_{C'.ABB'A'}=216\iff \frac{1}{3}d(C,(ABB'A')).AB.BB'\implies h=BB'=6\sqrt{3}$.
Khi đó: $2P=3\sqrt{h^2+r_1^2}+6\sqrt{h^2+r_2^2}+3\sqrt{3}\sqrt{h^2+r_3^2}$.
$\iff 2P=3(\sqrt{h^2+r_1^2}+\sqrt{4h^2+4r_2^2}+\sqrt{3h^2+3r_3^2})$.
Lại có: $S_{A'B'C'}=S_{ABC}=18\sqrt{3}\iff 6r_1+12r_2+6\sqrt{3}r_3=2.18\sqrt{3}\iff \boxed{r_1+2r_2+\sqrt{3}r_3}=6\sqrt{3}$.
Khi đó áp dụng bất đẳng thức Mincopxki (hay bất đẳng thức vector) ta có:
$2P=3(\sqrt{h^2+r_1^2}+\sqrt{4h^2+4r_2^2}+\sqrt{3h^2+3r_3^2})\ge 3\sqrt{(h+2h+\sqrt{3}h)^2+(r_1+2r_2+\sqrt{3}r_3)^2}=const$.
Dấu $=$ xảy ra khi $r_1=r_2=r_3$. Hay $M$ là tâm nội tiếp của tam giác $A'B'C'$.
Ý 2: Kẻ tia phân giác $BL$ góc $ABC$. Khi đó do theo câu a suy ra $BP//B'M$. Qua $P$ kẻ $PU//AC'(U\in CC' )$.
Khi đó góc giữa hai đường thẳng $\widehat{(AC',B'M)}=\widehat{BPU}$. Phần tính toán còn lại xin dành cho bạn đọc.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 21-03-2017 - 11:04
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh