SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
VĨNH LONG NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn thi: Toán – Lớp 9
Thời gian: 150 phút (Ngày thi 19/03/2017)
Bài 1: a) Chứng minh rằng $\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{8-\sqrt{81-8\sqrt{5}}}}=\sqrt{2}$
b) Cho x và y khác không thỏa mãn $5y+x=2xy\left ( x^{2}+y^{2} \right )$ và $5y-x=xy\left (yx^{2}-x^{2} \right )$
Tính M = x – y
Bài 2: a) Giải phương trình $\sqrt{x+2}-\sqrt{x-3}=\sqrt{8-x}$
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 2(x+y)=3\left ( \sqrt[3]{x^{2}y}+\sqrt[3]{xy^{2}} \right ) & \\ \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=6 & \end{matrix}\right.$
Bài 3: a) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình $2x^{2}-2x-1=0$. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $A=\frac{x_{1}^{6}}{x_{2}^{6}}+\frac{x_{2}^{6}}{x_{1}^{6}}$
b) Cho x, y, z thỏa mãn $\frac{3x^{2}}{2}+y^{2}+z^{2}+yz=1$. Tìm GTNN và GTLN của B = x + y + z
Bài 4: a) Cho số tự nhiên n. Chứng minh rằng $25^{n^{5}-5n^{3}+4n+1}-25$chia hết cho 13.
b) Cho x, y là các số hữu tỉ thỏa mãn $x^{3}-8xy-16y^{3}=0$. Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là một số hữu tỉ.
Bài 5: 1) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và At là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A. Từ một điểm P trên tia At vẽ tiếp tuyến PM tới nửa đường tròn (M là tiếp điểm, M khác A). Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt đường thẳng BM tại N.
a) Chứng minh năm điểm A, P, O, M, N cùng nằm trên một đường tròn.
b) Khi AP = x (x > 0), hãy tính diện tích tứ giác POMN theo R và x.
2) Cho hình vuông ABCD, M và N là hai điểm thuộc cạnh BC và CD sao cho $\widehat{MAN}=45^{0}$. Các đoạn thẳng AM, AN lần lượt cắt BD tại P, Q. Gọi R là giao điểm của MQ và NP. Chứng minh rằng AR vuông góc với MN