ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH.pdf 217.75K 770 Số lần tải
ĐỀ THI HSG TOÁN - TIỀN GIANG - 2016 - 2017
#1
Đã gửi 22-03-2017 - 10:23
#2
Đã gửi 22-03-2017 - 15:27
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
TIỀN GIANG NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn thi: Toán – Lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: a) Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình $x^{2}+2016x+1=0$ và x3, x4 là nghiệm của phương trình $x^{2}+2017x+1=0$.
Tính $M=(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{3})(x_{1}-x_{4})(x_{2}-x_{4})$
b) Cho p và q là hai số nguyên tố và đa thức $x^{2}-px+q$ có hai nghiệm dương phân biệt. Tìm p và q
Bài 2: a) Giải phương trình $5\sqrt{1+x^{3}}=2(x^{2}+2)$
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 10x^{2}+5y^{2}-2xy-38x-6y+41=0 & \\ \sqrt{x^{3}+xy+6y}-\sqrt{y^{3}+x^{2}-1}=2 & \end{matrix}\right.$
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): $y=-x^{2}$ và đường thẳng (d) đi qua điểm M(0; -1) có hệ số góc m. Gọi A, B là giao điểm của (d) và (P). Chứng minh rằng $\left | x_{A}-x_{B} \right |\geq 2$ (Với xA; xB lần lượt là hoành độ của A, B) với mọi m
Bài 4: a) Cho P(x) và một đa thức hệ số nguyên thỏa mãn P(0) = 0, P(1) = 2. Chứng minh rằng P(7) không là số chính phương.
b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+\sqrt{z}$
Bài 5: a) Cho tam giác ABC, chứng minh rằng $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC.sinA$ (với SABC là diện tích tam giác ABC)
b) Cho tam giác đều ABC, cạnh bằng 6cm, có trọng tâm G. Một đường thẳng d đi qua G và cắt các đoạn thẳng AB và AC lần lượt tại M và N sao cho 2AM = 3AN. Tính diện tích tam giác AMN.
c) Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi chân đường vuông góc hạ từ điểm M nằm trong tam giác đến các cạnh BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Hãy xác định vị trí điểm M để $P=\frac{1}{MD}+\frac{1}{ME}+\frac{1}{MF}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
d) Trong tất cả các tam giác có đáy bằng a, chiều cao bằng h, tam giác nào có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 22-03-2017 - 15:27
- Zaraki, mathprovn và HoangKhanh2002 thích
#3
Đã gửi 22-03-2017 - 18:14
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
TIỀN GIANG NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn thi: Toán – Lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: a) Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình $x^{2}+2016x+1=0$ và x3, x4 là nghiệm của phương trình $x^{2}+2017x+1=0$.
Tính $M=(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{3})(x_{1}-x_{4})(x_{2}-x_{4})$
b) Cho p và q là hai số nguyên tố và đa thức $x^{2}-px+q$ có hai nghiệm dương phân biệt. Tìm p và q
Bài 2: a) Giải phương trình $5\sqrt{1+x^{3}}=2(x^{2}+2)$
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 10x^{2}+5y^{2}-2xy-38x-6y+41=0 & \\ \sqrt{x^{3}+xy+6y}-\sqrt{y^{3}+x^{2}-1}=2 & \end{matrix}\right.$
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): $y=-x^{2}$ và đường thẳng (d) đi qua điểm M(0; -1) có hệ số góc m. Gọi A, B là giao điểm của (d) và (P). Chứng minh rằng $\left | x_{A}-x_{B} \right |\geq 2$ (Với xA; xB lần lượt là hoành độ của A, B) với mọi m
Bài 4: a) Cho P(x) và một đa thức hệ số nguyên thỏa mãn P(0) = 0, P(1) = 2. Chứng minh rằng P(7) không là số chính phương.
b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+\sqrt{z}$
Bài 1
a) Áp dụng hệ thức Viete ta có:
$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=-2016 & \\ x_{1}x_{2}=1& \\ x_{3}+x_{4}=-2017& \\ x_{3}x_{4}=1& \end{matrix}\right.$
Ta có: $M=(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{3})(x_{1}-x_{4})(x_{2}-x_{4})=(x_{1}x_{2}-x_{4}x_{1}+x_{2}x_{3}-x_{3}x_{4})((x_{1}x_{2}-x_{4}x_{2}+x_{3}x_{1}-x_{3}x_{4}))=(x_{2}x_{3}-x_{4}x_{1})(x_{3}x_{1}-x_{4}x_{2})=x_{3}^2-x_{2}^2-x_{1}^2+x_{4}^2=(x_{3}^2+x_{4}^2)-(x_{2}^2+x_{3}^2)=2017^2-2-2016^2+2=4033$
b) Ta có: $\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=p>0\\ x_{1}x_{2}=q>0 \end{matrix}\right.$
Nếu trong hai nghiệm có 1 số chẵn thì suy ra q = 2, do đó p = 3
Nếu trong 2 nghiệm có 1 nghiệm lẻ thì nghiệm đó là 1 hoặc là q, suy ra nghiệm còn lại chẵn nên q chẵn nên q = 2, do đó p = 3
Nếu 2 nghiệm lẻ thì p chẵn nên p chẵn nên p = 2, q lẻ và lớn hơn 1 nên phương trình vô nghiệm
Vậy q = 2, p = 3
Bài 2:
a) ĐK: $x\geq -1$
Phương trình đã cho tương đương: $5\sqrt{(1+x)(x^2-x+1)}=2(x^2-x+1)+2(x+1)$
Đặt: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{1+x}=a\geq 0\\ \sqrt{x^2-x+1}=b\ \end{matrix}\right.\Rightarrow 5ab=2a^2+2b^2\Leftrightarrow (a-2b)(2a-b)=0...$
b) Từ phương trình thứ nhất:
$10x^{2}+5y^{2}-2xy-38x-6y+41=0 \Leftrightarrow 10x^2-2x(y+19)+5y^2-6y+41=0$
Hệ có nghiệm khi: $\Delta =-49(y-1)^2\geq 0\Rightarrow y=1$
Thay vào phương trình được: $x=2$
Thay vào (2) thấy thoả mãn
Bài 3
Phương trình đường thẳng (d) là $y=mx-1$
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: $x^2+mx-1=0$
Vì ac < 0 nên (P) luôn cắt (d)
Ta tìm được hai hoành độ: $x_{A}=\frac{-m+\sqrt{m^2+4}}{2};x_{B}=\frac{-m-\sqrt{m^2+4}}{2}\Rightarrow\left | x_{A}-x_{B} \right |=\left | \frac{-m+\sqrt{m^2+4}}{2}- \frac{-m-\sqrt{m^2+4}}{2}\right |=\sqrt{m^2+4}\geq 2$
Bài 4
b) $\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+\sqrt{z}\Leftrightarrow x-y-z=2(\sqrt{yz}-\sqrt{3})\Rightarrow x-y-z-2\sqrt{3}=2\sqrt{yz}\Rightarrow (x-y-z)^2-4\sqrt{3}(x-y-z)+12=4yz$
Nếu x - y - z khác 0 thì: $\sqrt{3}=\frac{(x-y-z)^2+12-yz}{4(x-y-z)}$ hữu tỉ (vô lí)
Do đó: x - y - z = 0 nên $yz=3\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y+z=x\\ yz=3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \boxed{(x;y;z)=\left \{ (4;1;3);(4;3;1) \right \}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 22-03-2017 - 19:08
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh